Brückenkurs - Grundlagen der Mathematik

Sinn und Zweck des Brückenkurses Grundlagen der Mathematik ist es, Studienanfängern in Masterprogrammen aller Richtungen eine einheitliche Basis für fortgeschrittene Veranstaltungen innerhalb Ihres Studiums anzubieten. Vollständige Induktion, ε-Kriterium und lineare Hülle sind für Sie nur leere Worthülsen? Dann sind Sie in unserem Brückenkurs genau richtig! Wie Sie zu Beginn Ihres Studiums schnell erkennen werden, handelt es sich hierbei um grundlegende Begriffe der höheren Mathematik. Erfahrungsgemäß haben insbesondere Absolventen von (Dualen) Hochschulen mit dem meist deutlich abstrakteren Vorlesungsstoff der universitären Mathematik zu kämpfen. Wir möchten Sie dabei nicht alleine lassen und helfen Ihnen im Rahmen des Kurses dieses Handwerkszeug zu erlernen, sodass Sie optimal in Ihr neues Studium starten.

Zeitplan

Woche 1-2: 18.09. - 01.10.2017

  • Kapitel 1 Elementare Beweistechniken
  • Kapitel 2 Mengen
  • Kapitel 3 Folgen und Reihen
  • 1. Übungsblatt zu den Kapiteln 1-3

Woche 3: 02.10. - 08.10.2017

  • Kapitel 4 Funktionen
  • 2. Übungsblatt zu Kapitel 4
  • 1. Präsenztermin zu Kapiteln 1-3

Woche 4: 09.10. - 15.10.2017

  • Kapitel 5 Taylorentwicklung/Taylorreihen
  • 3. Übungsblatt zu Kapitel 5
  • 2. Präsenztermin zu Kapitel 4

Woche 5: 16.10. - 22.10.2017

  • Kapitel 6 Vektorräume
  • 4. Übungsblatt zu Kapitel 6
  • 3. Präsenztermin zu Kapitel 5

Woche 6: 23.10. - 28.10.2017

  • Kapitel 7 Matrizen
  • 5. Übungsblatt zu Kapitel 7
  • 4. Präsenztermin zu Kapitel 6

Woche 7: 29.10. - 04.11.2017

  • 5. Präsenztermin zu Kapitel 7

Teilnahmeentgelt: 50,00 Euro (Einführungspreis)

Inhalte des Zertifikatskurses

  • Elementare Beweistechniken:
    Kenntnisse elementarer Logik sowie grundlegender Techniken der mathematischen Beweisführung sind unverzichtbar für das Verständnis höherer Mathematik. Im ersten Kapitel werden wir uns aus diesem Grund mit Grundlagen der Logik und elementaren Beweistechniken wie etwa dem Widerspruchsbeweis oder der vollständigen Induktion beschäftigen.
  • Mengenlehre:
    Im Zuge dieses Abschnittes werden wir die Grundbegriffe der Mengenlehre, beginnend mit der Definition einer Menge bis hin zu den gängisten Mengenoperationen, auffrischen.
  • Folgen und Reihen:
    Das Konzept der Folge stellt einen Grundpfeiler der Analysis dar. Innerhalb dieses Kapitels werden wir zunächst die Bedeutung der Begriffe Folge, Konvergenz einer Folge und Grenzwert einer Folge klären und anschließend einige fundamentale Resultate diesbezüglich zusammenfassen. Im zweiten Teil dieses Kapitels werden wir die Theorie der Folgen nutzen um sogenannte Reihen einzuführen.
  • Funktionen:
    Als Einstieg in dieses Kapitel werden wir uns sowohl die Definition einer Funktion als auch der Begriffe Injektivität und Surjektivität erneut ins Gedächtnis rufen. Daraufhin werden wir weitere entscheidende Charakteriska von Funktionen unter die Lupe nehmen. Insbesondere stehen hierbei unterschiedliche Formen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Mittelpunkt.
  • Taylorentwicklung und Taylorreihen:
    Die Theorie der Taylorentwicklung bzw. der Taylorreihe basiert auf der Idee eine Funktion in der Umgebung eines gegebenen Punktes durch Polynome zu approximieren. Im Zuge dessen werden wir uns damit zum einen damit beschäftigen wie sich eine solche Approximation berechnen und zum anderen wie sich der resultierende Approxmationsfehler abschätzen lässt. In einigen Fällen werden wir sehen, dass sich bestimmte Funktionen exakt durch sogenannte Taylorreihen darstellen lassen, sofern der Approximationsfehler ein gutartiges Verhalten aufweist.
  • Vektorräume:
    Dieser Abschnitt dient dazu, sich von der Assoziation eines Vektors mit einem Pfeil zu lösen. Hierzu werden wir zunächst die Konzepte eines Vektorraumes, eines Skalarprodukts und einer Norm auf einem abstrakten Niveau einführen. Darauffolgend werden wir uns näher mit Eigenschaften der Elemente eines Vektorraumes, z.B. linearer Unabhängigkeit, sowie dem Begriff der Vektorraumbasis beschäftigen.
  • Grundlagen der linearen Algebra:
    Im letzten Kapitel wollen wir uns dem speziellen Vektorraum der quadratischen Matrizen widmen. Hierbei liegt der Fokus zunächst auf der Definition der Eigenwerte und -vektoren einer Matrix als auch Methoden zu deren Berechnung. Anschließend werden wir zeigen, dass sich bestimmte Matrizen mittels einer Basistransformation auf Matrizen, die lediglich Einträge auf der Diagonalen besitzen, abbilden lassen. Wir nennen solche Matrizen diagonalisierbar. Insbesondere werden wir klären unter welchen Voraussetzungen eine Matrix diagonalisierbar ist.

Lehr- und Lernformen

  • Selbststudium mithilfe des zur Verfügung gestellten Skriptes.
  • Bearbeitung von thematisch gegliederten Übungsaufgaben
  • Präsenzveranstaltungen zur Diskussion der Lerninhalte sowie zur Besprechung der Übungsaufgaben
  • Thematischer Austausch in Online-Foren

Voraussetzungen

keine

Teilnahmeentgelt

Anlässlich der Einführung des Brückenkurses Grundlagen der Mathematik wird ein reduziertes Teilnahmeentgelt in Höhe von 50 € erhoben. Es beinhaltet die Nutzung sämtlicher zur Verfügung gestellter Lernmaterialien für die Dauer des Kurses sowie die Teilnahme an den zugehörigen Präsenzveranstaltungen.

Anmeldung

Anmeldefrist: wird noch bekannt gegeben

Dozent

Prof. Dr. Karsten Urban
Leiter des Instituts für Numerische Mathematik

  

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