Halbgruppen und Evolutionsgleichungen im Sommersemester 2013

Aktuelles

Termine und Räume

Vorlesung:

  • Mi, 08:00 - 10:00, Raum: HeHo 18, E.60
  • Do, 10:00 - 12:00, Raum: HeHo 18, E.60

Übung:

  • Mi, 14:00 - 16:00, Raum: HeHo 18, E.60

Übungsblätter

Hier wird jeden Mittwoch das aktuelle Übungsblatt veröffentlicht. Die Übungsblätter können immer am darauffolgenden Mittwoch vor der Übung zur Korrektur abgegeben werden.

Das Erreichen von 50% Prozent aller Übungspunkte ist Voraussetzung für die Zulassung zur Prüfung (siehe auch unten im Abschnitt "Prüfung").

Inhalt

In vielen Anwendungen interessiert man sich für dynamische Systeme: Das sind Systeme, deren momentaner Zustand durch einen (im Allgemeinen unendlich-dimensionalen) Vektor modelliert wird und deren zeitliche Entwicklung durch eine Differentialgleichung beschrieben wird, die einen Zusammenhang zwischen dem momentanen Zustand und seiner zeitlichen Änderung herstellt. Weil diese Gleichung die Entwicklung (=Evolution) des Systems beschreibt, nennt man sie Evolutionsgleichung.

Ein typisches Beispiel ist die Wärmeleitungsgleichung: Hier ist der jeweilige Zustand eine Funktion, die die momentane Temperaturverteilung eines Körpers beschreibt. Die Wärmeleitungsgleichung stellt einen Zusammenhang zwischen der aktuellen Temperaturverteilung und ihrer zeitlichen Änderung her. Ein zweites Beispiel ist die Schrödingergleichung, aus der sich unter anderem die zeitliche Entwicklung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens berechnen lässt.

In der Theorie der Evolutionsgleichungen interessiert man sich unter anderem für die Wohlgestelltheit einer solchen Gleichung (d.h. die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung), und für qualitative Eigenschaften der Lösung (wie z.B. das Langzeitverhalten oder des Verhalten unter kleinen Störungen).

Wenn eine lineare Evolutionsgleichung eine Lösung besitzt, dann ist diese durch eine sogenannte Halbgruppe gegeben. Solche Halbgruppen können wir uns als Verallgemeinerung der Matrix-Exponentialfunktion für (im Allg. unstetige) Operatoren auf Banachräumen vorstellen. Um den Zusammenhang zwischen einer Evolutionsgleichung und der zugehörigen Halbgruppe genau zu untersuchen, werden Methoden aus der Funktionalanalysis verwendet.

Prüfung

Am Ende des Semesters wird eine mündliche Prüfung angeboten.

Voraussetzung für die Teilnahme an der Prüfung ist das Erreichen von 50% der Punkte in den Übungen.

Bitte melden Sie sich bis spätestens 19. Juli 2013 im Hochschulportal für die Vorleistung an!

Literatur

Einige Beispiele für Bücher über Halbgruppen sind:

  • Amnon Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1992.
    Dieses Buch finden Sie im Semester-Apparat von Herrn Arendt.
  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000.
    Sehr umfangreiches Buch, das alle wichtigen Teilgebiete ausführlich und detailliert behandelt. Sehr motivierend geschrieben.
    Das Buch kann auf der Internetseite von Rainer Nagel als pdf heruntergeladen werden.
  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, A Short Course on Operator Semigroups, Springer, 2006.
    Eine Kurz-Version des zuvor zitiereten Buchs von Engel und Nagel, das eine Einführung in alle wichtigen Teilgebiete gibt, aber weniger ins Detail geht. Das Buch ist nur etwas über 200 Seiten lang und daher mit weniger Aufwand zugänglich.
    Das Buch kann ebenfalls auf der Internetseite von Rainer Nagel als pdf heruntergeladen werden.
  • Zum Internetseminar 2005/06 hat Herr Arendt ein Skript mit dem Titel "Heat Kernels" verfasst.
    Das Skript deckt ebenfalls viele Themen aus der Vorlesung ab und kann auf der Internetseite von Herrn Arendt heruntergeladen werden.
  • Die Vorlesungsnotizen von Herrn Arendt werden ebenfalls regelmäßig online gestellt. Sie können sie hier herunterladen.

Voraussetzungen

Wichtige Grundbegriffe der Funktionalanalysis (z.B. das Spektrum eines linearen Operators, der Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit, etc.) sollten bekannt sein.

Prüfungsrelevanz

Die Vorlesung richtig sich an Studierende der Master-Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie. Die Vorlesung gibt bei bestandener Prüfung 9 ECTS-Punkte.

Betreuung

Umfang

  • 4+2 SWS

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