Komplexe & verteilte Systeme

Eine weit verbreitete Klasse von Systemen stellen Multiphysiksysteme und vernetzte Systeme dar. Um diese Systemklassen handhaben zu können werden am Institut geeignete Methoden und numerische Ansätze erforscht.

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Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen
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Multiphysiksysteme

Eine hinreichend genaue Modellierung von technischen Systemen erfordert vielmals die simultane Berücksichtigung einer zeitlichen und örtlichen Dynamik. Treten zudem auch unterschiedliche und in einer wechselseitigen Beziehung stehende physikalische Effekte auf spricht man von sogenannten Multiphysiksystemen und die mathematische Systembeschreibung führt auf verkoppelte partielle Differentialgleichungen. Beispiele finden sich in vielen Bereichen wie dem induktiven Aufheizen von Werkstücken, der Prozessführung chemischer Reaktoren, der Tumorbehandlung durch Bestrahlung oder der Kristallzüchtung.

Am Institut werden geeignete Methoden und Algorithmen für eine optimale Trajektorienplanung von Multiphysiksysteme entwickelt. Hierfür werden überwiegend optimierungsbasierte Ansätze verwendet. Hinsichtlich einer möglichst flexiblen Anwendbarkeit wird für die numerische Umsetzung auf Standard-Software zurückgegriffen. Im Speziellen werden geeignete Ansätze und Methoden zur optimalen Planung von Eingangstrajektorien, der Optimierung der Position und Geometrie von Aktoren sowie der systematische Umgang mit Zustandsbeschränkungen erforscht. Durch den Einsatz geeigneter "first-optimize-then-discretize"-Ansätzen wird einerseits eine elegante Herleitung der Optimalitätsbedingungen ermöglicht und andererseits sichergestellt das die Struktur der Optimalitätsbedingungen eine für die numerische Lösung geeignete Struktur aufweisen.

Für die numerische Lösung der Optimalitätsbedingungen wird eine Softwareumgebung eingesetzt, die eine Trennung der Algorithmik von der reinen Numerik zulässt. Zu diesem Zweck wird ein angepasstes Gradientenverfahren verwendet, wodurch die numerische Lösung der Optimalitätsbedingungen auf spezialisierte FEM-Softwarepakete wie beispielsweise COMSOL Multiphysics ausgelagert werden kann. Dies ermöglicht unter anderem einen einfachen Zugang zur numerischen Lösung von verkoppelten partiellen Differentialgleichungen. Dies trifft auch dann zu, wenn das Optimierungsproblem komplexe Ortsgebiete und Strukturen enthält.

Als typisches Anwendungsbeispiel für die Optimierung von Multiphysiksystemen wurde unter anderem eine Simulationsstudie zur optimalen Oberflächenhärtung durchgeführt. Für ein optimales Aufheizen wird neben der zeitlichen Ansteuerung der Induktionsspule auch deren örtliche Platzierung und Geometrie optimiert. Eine Überhitzung des Werkstücks wird durch eine im Rahmen der Optimierung berücksichtigte Zustandsbeschränkung verhindert.

Softwareumgebung zur numerischen Lösung von Multiphysiksystemen
Temperaturprofil mit optimaler Spulengeometrie (links), optimaler Ansteuerung der Induktionsspule (rechts oben) sowie den Verläufen der minimalen, mittleren und maximalen Temperatur in der Randschicht des Werkstücks (rechts unten)

Verteilte Systeme & DMPC

Einen weiteren Forschungsschwerpunkt stellen modular aufgebaute, verteilte Systeme dar, die sich aus einer großen Anzahl dynamisch gekoppelter Einzelsysteme zusammensetzen. Beispiele aus der Praxis sind Smart Grids und Wasserversorgungsnetzwerke. Eine Möglichkeit zur Regelung dieser verteilten Systemstrukturen ist der Einsatz von modellprädiktiven Reglern (MPC) für jedes Teilsystem. Man spricht in diesem Fall von Distributed MPC (DMPC).

Auf diesem Gebiet interessieren sowohl die Entwicklung effizienter Algorithmen, die durch geeigneten Informationsaustausch unter den einzelnen MPCs einen optimalen Betrieb des Gesamtsystems gewährleisten, als auch auch Stabilitätsuntersuchungen des geschlossenen DMPC-Kreises, der die genannten Dekompositionsalgorithmen zur parallelen Berechnung nutzt. Daneben liegt auch ein Fokus auf der Berücksichtigung von Kopplungen zwischen den einzelnen Subsystemen: u. a. ob einem Agenten auch Informationen über die Nachbardynamik vorliegen oder wie zusätzliche Kopplungsbeschränkungen algebraischer Art (z. B. ein konstanter Abstand, vgl. Videos) in die Optimierung eingebracht werden können. Eng mit der Kopplung verknüpft ist die Erforschung der Modularität der Netzstruktur, um ein Ein- und Auskoppeln einzelner Agenten in der Gesamtdynamik zu ermöglichen. Dazu ist die Adaption der Regelung auf die jeweilige Anzahl an Agenten und die aktuelle Netzstruktur nötig. In einem Simulationsbeispiel wurde hierfür ein kooperativer Lasttransport untersucht, bei dem mehrere Agenten einen zusätzlichen, reinen Last-Agenten zum gewünschten Ziel bewegen.

In einem Versuch wurde ein Wassertanknetz bestehend aus vier Wassertanks und entsprechenden Agenten auf Raspberry Pis über Ethernet vernetzt. Die Echtzeitfähigkeit  der DMPC-Implementierung wird durch ein geeignet synchronisiertes Kommunikations-Framework sowie echtzeitfähige Algorithmen auf den einzelnen Raspberry Pi-Agenten gewährleistet. 

 

Verteiltes System dynamisch verkoppelter Agenten
Experimentelle Ergebnisse für eine modulare DMPC-Struktur