Elemente der Funktionentheorie

Dies ist die Website der Vorlesung Elemente der Funktionentheorie. Hier werden aktuelle Informationen zum Vorlesungsbetrieb veröffentlicht.

Diese (2+1)-Vorlesung findet in der zweiten Hälfte des Sommersemesters vom 06.06 - 21.07. statt. Dabei werden pro Woche 4h Vorlesung und 2h Übung abgehalten.


 

 

Aktuelles

Am 06.06.17 findet noch keine Übung statt (es ist ja auch noch kein Blatt abzugeben)

 

Am 15.06.17 findet aufgrund des Feiertags keine Vorlesung statt

Für das Mathlab, das am 15.06.2017 leider auch nicht stattfinden kann, wird ein Ausweichtermin am 16.06.2017 um 16 Uhr in der Helmholtzstrasse 18, Raum E.20 angeboten. Man beachte die Raumänderung!

Mathlab & Sprechstunde

Das Mathlab zur Vorlesung findet, beginnend ab dem 08.06.2017, jede Woche Donnerstags von 18-20 Uhr im Hörsaal H9 statt.

Die wöchentliche Sprechstunde Donnerstags von 16-17 Uhr in der Helmholtzstraße 18, Zimmer 2.31, kann genutzt werden, um allgemeine Fragen jeder Art zu stellen. Falls noch mehr Fragen aufkommen, können diese auch dem Mathlab-Personal gestellt werden.

Inhalte

In der Vorlesung geht es um Funktionen mit komplexwertigen Veränderlichen. Von besonderem Interesse sind komplex differenzierbare Funktionen, sogenannte holomorphe Funktionen. Die komplexen Zahlen mögen sich topologisch mit einer Ebene identifizieren lassen, holomorphe Funktionen jedoch haben unerwartete und erstaunliche Eigenschaften. Nur ein paar Highlights: 

→ Funktionen, die auf der komplexen Zahlenebene einmal differenzierbar sind, sind bereits unendlich oft differenzierbar.

→ Holomorphe Funktionen lassen sich lokal immer als Potenzreihe darstellen

→ Beschränkte, auf der ganzen Ebene holomorphe Funktionen sind konstant. Im Reellen ist ein solches Resultat undenkbar, man betrachte den Sinus. 

Wir werden unsere Resultate über holomorphe Funktionen zur Berechnung Kurvenintegrale in der komplexen Zahlenebene anwenden. In Analysis 2 hat man vielleicht gesehen, dass Kurvenintegrale über einen geschlossenen Weg verschwinden, sofern der Integrand eine Stammfunktion hat (d.h. ein Gradientenfeld ist). Die besondere Gestalt des komplexwertigen Differenzenquotienten erlaubt uns aber, ähnlich wie im 1-D reellen Fall herzuleiten, dass jede holomorphe Funktion auf einem sog. Elementargebiet eine Stammfunktion besitzt. Elementargebiete zu charaktersieren steht damit auch auf unserem Programm!

Eine weitere Anwendung: Die Funktionentheorie liefert viele überraschend schöne und leichte Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. Mindestens ein solcher wird im Laufe des Kurses diskutiert werden.

Das untere Bild zeigt einen Konturplot der sogenannten Riemannschen Zetafunktion, die in der Riemann'schen Vermutung, einem bisher ungelösten Millenniumsproblem, auftaucht. Eine Lösung dieses Problems hätte weitreichende Konsequenzen für - und hier wird es interessant - die Zahlentheorie. Man kann nämlich zeigen, dass die Lage der Primzahlen mit der Lage der Nullstellen der Riemann'schen Zetafunktion korreliert ist.

Literatur

 Zu der Vorlesung gibt es einen Semesterapparat in der Bibliothek der Helmholtzstrasse. Wer mal in die Bücher reinschnuppern will, kann sie alle dort immer anschauen! 

Tutschke, Wolfgang; Vasudeva, Harkrishan L. An introduction to complex analysis. Classical and modern approaches. Modern Analysis Series, 7. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2005. xvi+460 pp. ISBN: 1-58488-478-9 30-01 (33-01)

Remmert, Reinhold Funktionentheorie. I. (German) [Function theory. I] Grundwissen Mathematik [Basic Knowledge in Mathematics], 5. Springer-Verlag, Berlin, 1984. xiii+324 pp. ISBN: 3-540-12782-8 (Reviewer: R. P. Boas) 30-01

Remmert, Reinhold Funktionentheorie. II. (German) [Function theory. II] Grundwissen Mathematik [Basic Knowledge in Mathematics], 6. Springer-Verlag, Berlin, 1991. xx+299 pp. ISBN: 3-540-12783-6 (Reviewer: Harold P. Boas) 30-01

Freitag, Eberhard; Busam, Rolf Funktionentheorie. (German) [Function theory] Springer-Lehrbuch. [Springer Textbook] Springer-Verlag, Berlin, 1993. xviii+473 pp. ISBN: 3-540-50618-7 30-01 (11-01)

Freitag, Eberhard; Busam, Rolf Complex analysis. Translated from the 2005 German edition by Dan Fulea. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005. x+547 pp. ISBN: 978-3-540-25724-0; 3-540-25724-1 30-01 (11-01 11F11)

 

 

Informationen zur Vorleistung und Klausur

Die Vorleistung ist bestanden, sofern 50 % der angebotenen Übungspunkte erreicht wurden. Die exakt dafür notwendige Punktzahl wird noch bekannt gegeben. Am Ende der Vorlesung wird es eine schriftliche Klausur geben. Die Daten dazu stehen bereits fest. Räume und Tageszeiten werden rechtzeitig bekannt gegeben!

Termine und Räume

Vorlesung:

Mi, 12-14, N25 - H3

Do, 12-14, N25 - H3

Übung:

Di, 08-10, N25 - H3

Klausurtermine

1. Termin: 28.07.2017

2. Termin: 13.10.2017

Links zur Veranstaltung