Elemente der Variationsrechnung

Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellwertigen Funktionen von Funktionen (sogenannte Funktionale). Dabei interessiert man sich für extremale Funktionen, also Funktionen, die das Funktional maximieren oder minimieren. Zur Bestimmung und Untersuchung solcher Funktionen müssen wir zunächst die Analysis-I–Theorie auf unsere Situation verallgemeinern.

Mit Hilfe der Methoden der Variationsrechnung lassen sich viele klassische Probleme (welche häufig physikalisch motiviert sind) elegant formulieren und teilweise auch lösen, wie etwa das Problem der kürzesten Wege (Geodäten), die Brachistochrone, Beschreibung der Form eines durchhängenden Seils (Kettenlinie), das Prinzip der kleinsten Wirkung oder die Theorie der Minimalflächen (Beschreibung von Seifenhäuten).

Die Variationsrechnung begleitete die Entwicklungen in vielen Bereichen der Analysis, wie etwa der Funktionalanalysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Noch heute findet man Teile der Variationsrechnung in aktueller Forschung, etwa in der Kontrolltheorie (optimale Steuerung), der Differentialgeometrie (Morsetheorie) und natürlich in der theoretischen Physik.

 

Costas Minimalfläche [http://www.bugman123.com/MinimalSurfaces/Costa-large.jpg]

Aktuelles

Organisatorisches

Termine und Räume

Vorlesung: Mittwochs, 8-10 Uhr im Raum 220 in der HeHo18.

Übung: Mittwochs, 12-13 Uhr im Raum 220 in der HeHo18 (Kann sich bei Bedarf, ausbleibenden Konflikten und verfügbarem Raum eventuell noch ändern, dies wird in der ersten Übung besprochen).

Voraussetzungen und Prüfungsmodalitäten

Diese Veranstaltung ist für Studenten aus den Bachelorstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie wie auch für Lehramtskandidaten geeignet, welche die Module Analysis, Lineare Algebra und Maßtheorie bereits erfolgreich absolviert haben. Die Vorlesungen "Gewöhnliche Differentialgleichungen" und "Elemente der Funktionentheorie" können parallel gehört werden.

Als (2+1) - Vorlesung gibt es für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung 4 Leistungs- bzw. ECTS-Punkte im Modul "Wahlpflicht - Analysis".
Erworbene Kenntnisse in der Variationsrechnung können anschließend bei einer Bachelorarbeit vertieft werden.

Die Prüfung wird mündlich stattfinden.

Die Vorleistung für diese Veranstaltung wird wie folgt geprüft: Alle TeilnehmerInnen kreuzen vor der Übung an, welche Aufgaben(teile) vorbereitet wurden. Diese gelten als bearbeitet. Einige Teile des Übungsblattes werden dann von zufällig ausgewählten Personen vorgetragen, welche vorher entsprechende Teile angekreuzt haben. Ist wegen einer Überschneidung mit einem Pflichttermin die Teilnahme an der Übung nicht möglich, so muss eine schriftliche Lösung ausgearbeitet werden, welche (bei zufälliger Auswahl) korrigiert wird.
Änderung (20.5.)
: vom dritten Blatt an werden die Lösungen wieder handschriftlich eingereicht und korrigiert, sowie ein Lösungsvorschlag in der Übung präsentiert. Wer das dritte Blatt jedoch noch nicht schriftlich ausformuliert hat, kann in dieser Woche noch einmal ankreuzen und vorrechnen.

Zum Bestehen der Vorleistung müssen 50 % der Summe alle Punkte auf den Übungsblättern erreicht werden, das sind 35 Punkte.

Zur Abrechnung der Vorleistung ist eine Anmeldung im SLC notwendig.

Übungsblätter

  • Blatt 0
  • Blatt 1
  • Blatt 2
  • Blatt 3
  • Blatt 4
  • Blatt 5
  • Blatt 6
  • Blatt 7
  • Blatt 8
  • Blatt 9
  • Blatt 10

Literatur

Haim Brezis -  Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs.

Giuseppe Buttazzo, Mariano Giaquinta, and Stefan Hildebrandt - One
dimensional variational problems.

Bernard Dacorogna - Direct methods in the calculus of variations.

Bernard Dacorogna - Introduction to the calculus of variations.

Lawrence C. Evans - Partial Differential Equations

Mariano Giaquinta and Stefan Hildebrandt - Calculus of variations I.

Enrico Giusti - Direct Methods in the Calculus of Variation.

Stefan Hildebrandt - Analysis 2.

Walter Rudin, Real and Complex Analysis.


Diese und weitere Bücher findet man im Semesterapparat von Prof. Anna Dall'Acqua.