Analysis 3

Die Vorlesung beschäftigt sich mit den Grundlagen der klassischen Vektoranalysis und der Fourieranalysis und kann als Fortsetzung zur Vorlesung Analysis 2 des letzten Semesters verstanden werden. Diese Vorlesung ist aber auch für höhere Semester aus dem Bachelor geeignet.

Nach einer kurzen Wiederholung der mehrdimensionalen Integrationstheorie befassen wir uns mit reellen Untermannigfaltigkeiten, auf welchen sich mit Hilfe der Zerlegung der Eins ebenfalls eine Integrationstheorie entwickeln lässt. Damit lassen sich die zentralen Integralsätze formulieren und beweisen: der Gauß’sche Integralsatz und der Satz von Stokes. Diese sind durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung motiviert: Die Möglichkeit, das Integral über eine Ableitung durch die Auswertung der Stammfunktion über dem Rand des Integrationsbereiches anzugeben. Diese Sätze haben eine breite Anwendung, ob in der Physik (Elektromagnetismus) oder in der Mathematik (so ist etwa die Verallgemeinerung des Satzes von Stokes mit Hilfe der Differentialgeometrie grundlegend für den Satz von de Rham aus der algebraischen Topologie).

Im zweiten Teil der Vorlesung behandeln wir die klassische Theorie der Fourieranalysis. Dabei werden Funktionen ähnlich wie bei der Entwicklung in Taylorpolynome durch „einfachere“ Funktionen approximiert. Die Basis für diese Entwicklung bilden die trigonometrischen Funktionen, so dass wir geeignete Funktionen als Überlagerungen von Sinus- und Kosinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen darstellen können. Im letzten Teil der Vorlesung wenden wir uns der Untersuchung der Fourier-Transformation zu, der kontinuierlichen Version der Fourierreihen. Nach der Definition, der Invertierbarkeit und ersten Eigenschaften werden wir die Theorie auf das Wärmeleitungsproblem anwenden und die Heisenbergsche Unschärferelation zeigen. Diese Untersuchungen münden in der Theorie der Hilberträume, welche einen zentralen Bestandteil der Funktionalanalysis darstellen.

Die Veranstaltung wendet sich sowohl an Studenten aus den Bachelorstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie als auch an Lehramtskandidaten.

Aktuelles

  • Im SLC unter Downloads findet ihr nun eine vollständige und vorläufige Version der Vorlesungsmitschrift. Bitte schickt Fehler oder Anmerkungen an Corbinian Schlosser oder Adrian Spener (exklusives Oder!), so dass endgültige Version möglichst fehlerfrei wird.
  • Die Anmeldung zur Prüfung im LSF ist nun ebenfalls verfügbar. Termine zur Prüfung werden in der Übung vereinbart. Bitte schreibt eine Mail an Adrian Spener, falls ihr keine Zeit für die Übung habt, aber eine Prüfung durchführen möchtet.
  • Die Anmeldung zur Vorleistung ist nun im LSF möglich. Zum Bestehen der Vorleistung sind 70 Punkte notwendig.

 

Organisatorisches

Termine und Räume:

Vorlesung: Mo., 10-12 Uhr, H12
Übung: Di., 16-17 Uhr, H12

Betreuung:

Dozentin: Prof. Dr. Anna Dall'Acqua
Übungsleiter: Adrian Spener

Prüfung

Die Prüfungen werden mündlich durchgeführt. Als (2+1) - Vorlesung gibt es für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung 4 Leistungs- bzw. ECTS-Punkte im Modul "Wahlpflicht - Analysis".
Voraussetzung zur Zulassung zur Prüfung sind das Erreichen von 50% der Summe aller Punkte auf den Übungsblättern, also 70 Punkte.

Termine für die Prüfungen werden in der Übung verteilt. Wer zur Übung verhindert ist meldet sich per Mail beim Übungsleiter.

Literatur

  • Forster - Analysis 3
  • Hildebrand - Analysis 2
  • Sauvigny - Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik
  • Walter - Analysis 2
  • Stein, Shakarchi - Fourier Analysis
  • Reed, Simon - Fourier Analysis, selfadjointness
  • Guenther, Lee - Partial differential equations of mathematical Physics and integral equations

Semesterapparat