Prof. Dr. Karsten Urban, Kristina Steih

Vorlesung (4/2)

Voraussetzungen:
Hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig, sind die Vorlesung Numerik partieller Differentialgleichungen 1 und das WiMa-Praktikum II. Kenntnisse in Funktionalanalysis sind ebenfalls nützlich.

Aktuelles

• 1. Vorlesung: Montag, 16. April
• 1. Übung: Mittwoch, 18. April, im Pool der He18

Inhalt

Reduzierte Basis Methoden (RBM)

In vielen Anwendungen müssen parameterabhängige partielle Differentialgleichungen entweder für viele verschiedene Parameter (multi-query context) oder in Echtzeit (real-time context) gelöst werden. Da die üblicherweise verwendeten hochdimensionalen Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Lösungen dabei viel zu aufwändig sind, bemüht man sich um Modellreduktionsmethoden.

Bei der RBM wird aus ausgewählten hochdimensionalen Lösungen (Snapshots) eine niedrig-dimensionale Basis konstruiert. Der Approximations-Fehler kann dabei durch rigorose Fehlerschranken kontrolliert werden.

In der Vorlesung gibt eine Einführung in RB-Methoden und geht auf aktuelle Forschungsresultate ein. Dabei werden unter anderem die folgenden Themen und Methoden betrachtet:

• RBM für elliptische PDEs:
  • Snapshot-Wahl: Greedy-Algorithmus
  • A-posteriori Fehlerschätzer
• RBM für parabolische PDEs:
  • Snapshot-Wahl: POD-Greedy
  • A-posteriori Fehlerschätzer
  • Space-Time Ansätze
• Abschätzungen von Stabilitäts- und Stetigkeitskonstanten
  • Min-Theta-Ansatz
  • SCM
• Primal-Duale Ansätze
• Konstruktion affiner Approximationen : EIM

• Montags 08:00 - 10:00, He18 Raum 120
• Donnerstags 08:00-10:00, He18 Raum E20

Übungen

• Mittwoch 14:00 - 16:00, He18 Pool (neben der Bib)

Blatt 1 (Material)

Blatt 2 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 3 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 4 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 5 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 6 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 7 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 8 (Material, Lösungsvorschlag)

Blatt 9 (Material  )

Die Prüfung zu dieser Vorlesung besteht aus einer Projektarbeit. Allgemeine Information dazu gibt es hier.

Termine:

• 31. Mai 2012: Kurzvorstellung der Projektvorschläge
• 7. Juni 2012: Festlegung der Projekte (spätestens)
• 18. Juli 2012: Projekt-Vorträge
• 5. August 2012: Abgabe der Projekt-Berichte

Projektvorschläge:

• Quadratische Outputs I (Literatur1, Literatur)
• Quadratische Outputs II (Literatur)
• DEIM (Literatur)
• ε-Adaptive Greedy (Literatur)

RBM ist ein relativ junges Forschungsgebiet, so dass noch keine Literatur in Buchform vorhanden ist. Hier sind ein einführendes Grundlagen-Paper und der nicht veröffentlichte Teil eines RBM-Buches, welches allerdings teilweise etwas umständlich geschrieben ist.

• A.T. Patera, G. Rozza "Reduced Basis Approximation and A Posteriori Error Estimation for Partial Differential Equations", MIT, 2006
• G. Rozza, D.B.P. Huynh, A.T. Patera "Reduced Basis Approximation and a Posteriori Error Estimation for Affinely Parameterized Elliptic Coercive Partial Differential Equations"

Aktuelle Paper finden sich unter anderem auf den folgenden Webseiten:

• MoRePaS
• RBM am MIT (Forschungsgruppe Patera)

Im Laufe der Vorlesungen werden hier außerdem die relevanten Paper zu den jeweils behandelten Themen zur Verfügung gestellt.