Erasmus-Vorlesungsreihe "Moderne Integralgeometrie"

• Teil 1: Motivation und einige klassische Resultate der Integralgeometrie (Montag, 02.02.2009, 10-12 Uhr)

  Zunächst werden zwei klassische Fragen der Integralgeometrie behandelt. Buffons Nadelproblem aus dem Jahr 1777 fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine Nadel der Länge 1, die auf ein Blatt mit parallelen Linien im Abstand 1 geworfen wird, eine der Linien schneidet. Bertrands Paradox (1888) betrifft die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sehne eines Kreises länger ist als eine Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks. Beide Probleme sowie unzählige weitere lassen sich mit Hilfe der kinematischen Formel von Chern-Blaschke-Santalo (1930) lösen. Spezialfälle dieser Formel sind Croftonformeln und Kubotas Projektionsformeln.

• Teil 2: Bewertungen und Hadwigers Beweis der kinematischen Formel (Mittwoch, 04.02.2009, 8-10 Uhr)

  Der wichtigste Begriff der modernen Integralgeometrie ist der der "Bewertung". Unstetige Bewertungen wurden von Max Dehn um 1900 benutzt, um das 3. Hilbertsche Problem zu lösen. Hadwiger konnte 1957 alle stetigen, bewegungsinvarianten Bewertungen charakterisieren. Es wird eine Skizze eines einfachen Beweises von Daniel Klain gegeben. Als Korollar ergibt sich ein quasi trivialer Beweis der kinematischen Formeln. Die bewegungsinvarianten Bewertungen wurden von Hadwiger charakterisiert. Setzt man nur noch Translationsinvarianz voraus, ergibt sich eine sehr reichhaltige Theorie. Wir werden den Raum aller stetigen translationsinvarianten Bewertungen studieren. Ein zentrales Resultat ist der Zerlegungssatz von McMullen (1977).

• Teil 3: Klains Injektivitätstheorem und Algebraische Strukturen auf Bewertungen (Donnerstag, 05.02.2009, 8-10 Uhr)

  Daniel Klain konnte 2000 Hadwigers Charakterisierungssatz verschärfen und gelangte zu einer wichtigen Charakterisierung gewisser translationsinvarianter Bewertungen. Beispiele für translationsinvariante Bewertungen sind die gemischten Volumina. Eine Vermutung von McMullen besagt, dass diese einen dichten Teilraum aufspannen. Diese Vermutung wurde 2001 von Semyon Alesker bestätigt.Unter Benutzung dieser beiden Sätze kann man verschiedene Operationen auf Bewertungen definieren: eine Fouriertransformation (Alesker 2003, 2008), ein Produkt (Alesker 2004) und ein Faltungsprodukt (Bernig-Fu 2006).

• Teil 4: Bewertungen und kinematische Formeln (Freitag, 06.02.2009, 12-14 Uhr)

  Zwischen den kinematischen Formeln und der Produktstruktur gibt es einen einfachen, aber fundamentalen Zusammenhang (Bernig-Fu 2006). Dieser kann benutzt werden, um die Konstanten in der klassischen kinematischen Formel besser zu verstehen. Ersetzt man den Euklidischen Raum mit der Euklidischen Bewegungsgruppe durch einen hermiteschen Vektorraum mit der unitären Bewegungsgruppe, so gelangt man zur hermiteschen Integralgeometrie. Die lange Zeit offene Frage nach den kinematischen Formeln in dieser Situation wurde kürzlich unter Ausnutzung der algebraischen Strukturen beantwortet (Bernig-Fu 2008).

Die Vorträge finden in Raum E20, Helmholtzstr. 18, statt.

Prof. Bernig wird zudem einen Vortrag über "Hermitesche Integralgeometrie" im Rahmen des Mathematischen Kolloquiums der Universität Ulm halten.

Literatur: Klain, D., Rota, G.-C.: Introduction to Geometric Probability. Lezioni Lincee, Cambridge University Press 1997.