Stochastische Geometrie II

Termin und Raum

Vorlesung

Mittwoch, 10:15 - 11:55, E03, Heho 22

Übung

Freitag, 12:15 - 13:55, 120, Heho18 (14-tägig)


Skript

Hier gibt es das Skript zur Vorlesung und hier die Einführung in spatstat.


Übungsblätter

Die Abgabe der Übungsblätter wird dringend empfohlen.

Blatt 1   R-Lösung
Blatt 2   R-Lösung
Blatt 3
Blatt 4   R-Lösung
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7


Umfang

2 Stunden Vorlesung, 1 Stunde Übung

4 Leistungspunkte


Vorkenntnisse

Grundkenntnisse der Stochastik im Umfang der Vorlesung "Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik". Die Vorlesung "Stochastische Geometrie" ist nicht notwendig.


Inhalt

Stochastische Geometrie befasst sich mit geometrischen Strukturen, die zufällig sind. In der Vorlesung "Stochastische Geometrie II" behandeln wir zwei ausgewählte Teilgebiete der Stochastischen Geometrie:

 Zufällige kompakte Mengen

  • Die konvexe Hülle von zufälligen Punkten: Wir betrachten die konvexe Hülle von endlich vielen zufälligen Punkten, die in eine konvexe Menge fallen (Bild links). Wir befassen uns mit stochastischen Eigenschaften (z.B. dem Erwartungswert) von geometrischen Größen (z.B. dem Flächeninhalt) dieser konvexen Hülle.
  • Das starke Gesetz der großen Zahlen: Werden die Begriffe geeignet definiert, dann konvergiert auch für zufällige kompakte Mengen der arithmetische Mittelwert fast sicher gegen den Erwartungswert.

Zufällige Mosaike

  • Definition und elementare Eigenschaften: Mosaike sind Unterteilungen des Euklidischen Raums in sog. Zellen.
  • Mittelwerte für geometrische Größen einer Zelle: Wir werden formal definieren, was die Verteilung der typischen Zelle eines Mosaik ist und Formeln für die Erwartungswerte verschiedener Größen, z.B. Flächeninhalt oder Anzahl der Nachbarzellen, herleiten.
  • Modelle für zufällige Mosaike: Wir lernen die wichtigsten Modelle kennen: Voronoi-Mosaike (Bild Mitte), Hyperebenen-Mosaike (Bild rechts) und STIT-Mosaike.

 

Prüfung

Es gibt keine Vorleistung. Die Prüfung ist mündlich und umfasst Vorlesung und Übung.


Literatur

  • Schneider, R. und Weil, W.: Stochastic and Integral Geometry. Springer, 2008.
  • Molchanov, I.: Theory of Random Sets. Springer, 2005.
  • (Chiu, S.,) Stoyan, D., Kendall, W. und Mecke, J.: Stochastic Geometry and Its Applications. Wiley, 1995, 2008, 2013.
  • Spodarev, E.: Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Springer, 2013.
  • Schmidt, V.: Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Springer, 2015.

 

 

Kontakt

Dozent & Übungsleiter

Dr. Jürgen Kampf

Helmholtzstraße 18, Raum 1.46

0731 50 23526

juergen.kampf(at)uni-ulm.de