Zusatzmaterial und relevante Information

Bemerkung

Die zur Verfügung gestellten .gif-Dateien sind mit der statistischen Programmiersprache R erstellt worden. Auf ein angemessenes Verhältnis von Qualität zu Speicherplatz habe ich nicht wirklich geachtet. 

Blatt 1

Eine kleine Visualisierung zu Aufgabe 3 auf Blatt 1 findet sich hier (GIF) .

Blatt 2

Für die Aufgabe 3 kann man seine Lösung vergleichen mit

Gaußsche Ebene - GIF.

Weiter wollen wir hier noch die Lösung der Schwingungsgleichung unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachten. Um sich das Verhalten der Schwingungsgleichung zu veranschaulichen, habe ich hier wieder verschiedene Plots zusammengestellt. Die geplotteten Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung zu verschiedenen Dämpfungsparametern findeen sich in der folgenden Datei.

homogene Schwingungsgleichung - GIF

Für eine Anregung durch sin-Kräfte sei verwiesen auf die Dateien

angeregte Schwingung (kleines Zeitintervall) - GIF

angeregte Schwingung (großes Zeitintervall) -GIF.

Im Zusammenhang mit der Resonanz (GIF)  fällt immer die Tacoma-Narrows-Brücke (viele dürften davon gehört haben). Dabei handelt es sich aber um eine Torsionsschwingung (hier gelten wesentlich andere Gesetze!) und keine Resonanz. Dennoch ist das zugehörige Videomaterial sehr sehenswert.

Weiteres: Werte für trigonometrische Funktionen.

Blatt 7

Wir treffen das erste mal auf Vektorräume. Vektorräume sind die Objekte, für die man sich in der Linearen Algebra interessiert.

Man kann die Lineare Algebra auffassen als das Studium der Vektorräume und speziellen Abbildungen dazwischen.

Dies ist im Grunde der Formalismus hinter linearen Gleichungssystemen (lineare Abbildungen), wie man sie aus der Schule kennt. Der Vorteil an dieser abstrakten Herangehensweise liegt darin, dass man auf ganz natürliche Weise Probleme formulieren kann. So fällt etwa die Polynominterpolationen auch unter diesen Formalismus. Eine noch recht weit entfernte (aber sehr praxisrelevante) Anwendung sind numerische Lösungen von partiellen Differentialgleichungen. Auch hier wird ein abstrakter Vektorraum benutzt, um das Problem auf ein lineares Gleichungssystem zurückzuführen.

Blatt 8

Lösungsvorschläge sind nun verfügbar.

Die Lösungen erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Für Bemerkungen und Meldungen zu Fehlern bin ich aber dankbar.

Siehe Dateien zur Vorlesung (Weitere Dateien).

Blatt 9

In Aufgabe 4 kann man sich viel Arbeit sparen, wenn man die richtige Multiplikationsreihenfolge wählt. Dies sollte man auch beim Programmieren beachten. So kann man sich einiges an Laufzeit sparen.

Eine andere interessante Frage ist, wie man nöglichst effektiv 2 quadratische Matrizen der Größe n multipliziert. Dies geht auf die naive Weise in O(n^3). Es ist bekannt, dass es bessere Algorithmen - etwa den Algorithmus von Strassen mit einer Laufzeit von ungefähr O(n^(2,807)) - gibt. Weiter wird vermutet (bisher meines Wissens nicht bewiesen), dass man O(n^k) für jedes k>2 erreichen kann.

Zusätzliche Information (unrelevant für die Vorlesung)

Genialer Unsinn

http://www.youtube.com/watch?v=QEJ9HrZq7RoThe Klein Four Group - Finite Simple Group (of Order Two).

Tom Lehrer (Beispielvideo)

Symmetriegruppen

Die Aufgabe 6 aus Blatt 9 (Symmetrie eines Sterns - nicht prüfungsrelevant!) macht deutlich, wozu Gruppen "erfunden" wurden. Diese diehnen zur Messung von Symmetrie. In unserem Beispiel von einem 2D-Objekt.

Man kann aber auch ganz andere Symmetrien messen. Etwa die Symmetrie von Gleichungssystemen, Differentialgleichungen (mit den Symmetrien kann man einige partielle Differentialgleichungen lösen - Symmetriemethode), oder aber der Physik.

Die Symmetrie des Standardmodells ist beschrieben durch die Gruppe U(1)×SU(2)×SU(3) (abgesehen von der Poincare-Gruppe). Diese Symmetrie bestimmt dann die Naturgesetze.

Eine sehr interessante Tatsache ist, dass die Naturgesetze nicht P-invariant sind. Spiegelt man den Raum, so verhalten sich die Naturgesetze anders als bei einem ungespiegelten Raum. Dies würde man meiner Ansicht nach nicht erwarten.

Man beachte, dass die Naturgesetze stochastischer Natur sind. Nur weil die Gesetze eine Symmetrie besitzen, muss die Welt nicht derartige Symmetrie aufweisen (spontaner Symmetriebruch) - anschauliches Beispiel Würfelwurf: 6 ideale Würfel weisen eine Symmetrie unter den Zahlen 1,...,6 aus (Drehsymmetrie - keine Zahl bevorzugt). Aber wenn man die 6 Würfel wirft, dann kann diese Symmetrie gebrochen sein - mit etwa 98% ist dies sogar recht wahrscheinlich. 

Google - PageRank

Man kann (das ist eine äquivalente Formulierung) auch die mittlere Verweildauer eines Zufallssurfers betrachten. Wir schauen uns nun das Beispiel auf dem Blatt 10 an. In der ersten GIF kann man gut verfolgen, was ein Zufallssurfer tut. In der zweiten wird ein Zufallssurfer mit p=0 betrachtet. In der dritten GIF ein Zufallssurfer mit p=1/2.

Fragen im Bezug auf den PageRank, die noch (Stand: Blatt 10) offen sind:

  • Gibt es immer einen PageRank (x mit positiven Einträgen, die Summe der Einträge ist 1 und Ax=x - Notation siehe Blatt 10)?
  • Ist der PageRank eindeutig?
  • Wie berechnet man den PageRank effektiv (Man denke an das Internet)?
  • Nähert sich jeder Zufallssurfer einem idealen Zufallssurfer an?
  • Gibt es Angriffe auf den Sinn der PageRanks? Linkfarmen ... Und wie kann man diese abwehren?
  • ...

Statistik zur Klausur 1

Die Duchschnittsnote ist

2,01 (ohne Note 5)

2,66 (mit der Note 5).

Die Durchfallquote liegt bei etwa 22%.

Interessant ist die Korrelation (anschaulicher in der unteren Datei!) zwischen den Punkten aus dem Quiz und denen aus der Klausur (ohne Quizpunkte natürlich)

0,687 (Pearson)

0,686 (Spearman)

Erklärung:

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson misst den linearen Zusammenhang. Eine 1 (bzw. 0) bedeutet ein perfekter linearer Zusammenhang mit positiver Konstante (bzw. kein globaler linearer Zusammenhang). Dagegen misst der Spearmansche Korrelationakoeffizient den monotonen Zusammenhang. 1 bedeutet hier, dass ein streng monotoner Zusammenhang vorliegt. 0 bedeutet, dass man keinen Zusammenhang erkennen kann. -1 bedeutet, dass fallende Monotonie vorliegt.

Wenn man das ganze auch für Übungspunkte und Klausurpunkte macht, dann erhält man:

0,450 (Pearson)

0,471 (Spearman)

der Zusammenhang ist also weniger eindeutig. Die Analyse nach Studiengängen hätte zu viele Rückschlüsse erlaubt. Deshalb hab' ich die weggelassen.

Wenige übliche Diagramme finden sich hier.