"Ist das Sonnensystem stabil? Streng genommen ist die Antwort noch unbekannt, und diese Frage hat zu sehr tiefen mathematischen Resultaten geführt, die vermutlich wichtiger sind als die Antwort auf die ursprüngliche Frage." (Jürgen Moser, 1928–1999)

Jährlich angebotene Vertiefungsrichtungen (Master)

Funktionalanalysis:

Die Funktionalanalysis ist eine elegante mathematische Theorie, die allgemeine Hilfsmittel bereitstellt, um konkrete analytische Probleme wie z. B. Differential- und Integralgleichungen zu lösen. Die Grundidee besteht dabei darin, das Problem als Operatorgleichung in einem geeigneten unendlichdimensionalen Raum zu formulieren und dieses mit Hilfe von allgemeinen Sätzen über (lineare) Operatoren zu behandeln.

Partielle Differentialgleichungen:

Oft führt die Modellierung von Vorgängen in Natur und Technik auf partielle Differentialgleichungen. In dieser Vorlesung werden verschiedene Methoden (klassische und/oder funktionalanalytische) zur Behandlung von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung studiert, wobei elliptische Gleichungen im Mittelpunkt stehen. Wichtige Fragen sind die nach der Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösung.

"Jeder, der die allgemeine Relativitätstheorie verstanden hat, wird von ihrer Schönheit begeistert sein. Sie ist der Triumph des kovarianten Differentialkalküls, der von Gauß, Riemann, Ricci und Levi-Civita geschaffen wurde." (Albert Einstein, 1879–1955)

Wechselnde Vertiefungsrichtungen (Master)

Differentialgeometrie:

In der Differentialgeometrie werden in der inneren Geometrie metrische Größen wie Länge, Winkel und Flächeninhalt studiert. Dies führt zur Riemannschen Geometrie. Zentrale Konzepte sind Krümmung und eine geeignete Definition der Ableitung. Die in der Vorlesung behandelten Begriffe spielen unter anderem eine entscheidende Rolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Evolutionsgleichungen:

Viele Modelle zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Systems lassen sich als abstraktes Anfangswertproblem in einem geeigneten Banachraum formulieren. Gegenstand dieser Vorlesung ist die Theorie der stark stetigen Operatorhalbgruppen, mit deren Hilfe u. a. solche Anfangswertprobleme behandelt werden können. Wichtige Anwendungen sind parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen.

Funktionentheorie:

Die Funktionentheorie ist die klassische Theorie der komplexen Funktionen. Beispielsweise werden die Eigenschaften konformer Abbildungen und die Frage der möglichen Vorgabe von Nullstellen und Polen untersucht.

Nichtlineare Funktionalanalysis:

Viele Vorgänge in Natur und Technik werden durch nichtlineare Gleichungen beschrieben, die als nichtlineare Operatorgleichung in geeigneten Banachräumen formuliert werden können. Aufbauend auf die (lineare) Funktionalanalysis werden in dieser Vorlesung verschiedene Methoden (u. a. iterative, topologische und auf Linearisierung beruhende) zur Lösung solcher Gleichungen bereitgestellt.

Variationsrechnung:

In dieser Vorlesung werden Optimierungsprobleme behandelt, wie zum Beispiel die Energieminimierung. Die notwendigen Bedingungen sind Eulersche partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ, wie zum Beispiel die Minimalflächengleichung, welcher eine Fläche genügt, deren Inhalt minimal ist. Besonders interessant sind Variationsprobleme, die durch geometrische Fragestellungen motiviert sind.

"Zu oft wird in der Physik der Zustandsraum als ein linearer Raum gewählt, obwohl die nichtlineare Struktur des Problems in natürlicher Weise auf eine Mannigfaltigkeit als Zustandsraum führt. Das erschwert die mathematische Behandlung." (Stephen Smale, 1980)