Meistens ist die Herleitung einer Evolutionsgleichung sogar die natürlichste Herangehensweise in der Modellierung beobachtbarer physikalischer Vorgänge.
Will man allerdings die Lösungen einer Evolutionsgleichung konkret berechnen, so stellt sich schnell heraus, dass man bereits in sehr einfachen Fällen keine explizite Lösungsformel angeben kann. Der übliche Ausweg aus dieser Problematik ist die Entwicklung numerischer Lösungsverfahren zur Bestimmung von Näherungslösungen. Allerdings setzen solche Verfahren die Existenz einer Lösung voraus und sind zudem nur unter starken Annahmen an die Regularität dieser Lösung korrekt. Auch aus rein theoretischer Sicht ist die Untersuchung der Existenz und Regularität von Lösungen interessant: einerseits, um die Plausibilität des Modells zu untermauern, andererseits als Zwischenschritt für die Behandlung realistischerer, komplexerer Modelle, deren Studium auf einem guten Verständnis der Basisfälle beruht.

Oft ist es mit Mitteln der Funktionalanalysis recht einfach, die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung nachzuweisen, welche die Evolutionsgleichung in einem verallgemeinerten Sinn erfüllt. Diese ist nur dann tatsächlich eine Lösung, wenn sie hinreichend glatt ist. Die Regularitätsfrage lautet also: Ist die schwache Lösung eine echte Lösung? Ein wesentliches Resultat dieser Art haben Ennio De Giorgi und John Nash in den Jahren 1957/58 unabhängig voneinander bewiesen. Ihr Theorem über innere Regularität löst das 19. Hilbert'sche Problem und gilt als eines der bedeutendsten Resultate der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Offen blieb dabei die Frage nach der Glattheit am Rand. Es war also noch nicht klar, ob an der Oberfläche eines wärmeleitenden Körpers ein plötzlicher Temperatursprung auftreten kann. Das klassische Prinzip „natura non saltat“ schließt dies physikalisch aus; es erwies sich aber als schwierig, einen mathematischen Beweises für diese Aussage zu finden.

Dr. Robin Nittka hat in seiner Dissertation diesen Beweis geliefert. Dabei ging er weit über das ursprüngliche Ziel hinaus, indem er auch nicht-lineare Gleichungen und irreguläre Daten zuließ. Dies erlaubt die Anwendung seiner Resultate auf Gebiete mit Ecken, wie sie zum Beispiel in der Modellierung von Elektronikbauteilen auftreten. Eine weitere Herausforderung in der Dissertation bestand in der Behandlung der mathematisch schwer handhabbaren Robin-Randbedingungen, die eine Wärmeabstrahlung an der Oberfläche modellieren. Diese schließen Neumann-Randbedingungen, also die vollständige Wärmeisolation des Körpers, als Spezialfall mit ein. Die Untersuchung der Stetigkeit am Rand wurde von Robin Nittka mit einer raffinierten neuen Technik auf das Resultat von De Giorgi und Nash zurückgeführt. Somit ist als Hauptresultat der Arbeit mathematisch bewiesen, dass auch für Diffusionsphänomene gilt: Die Natur macht keine Sprünge.

Preisträger 2011