Maßtheorie im Wintersemester 2019/20

Aktuelles

  • Die Vorlesung am Dienstag, 26.11.2019 kann doch regulär im Hörsaal Chirurgie stattfinden.
  • Die Vorlesung am Dienstag, 14.01.2020 findet ausnahmsweise in N24 - Raum 227 statt.
  • Wegen des Feiertages findet am 01.11. keine Übung statt. Blatt 3 wird dann am 08.11. besprochen.
  • In den ersten beiden Semesterwochen (15.10. und 22.10.) findet die Vorlesung in N25 - H3 statt.
  • Bitte melden Sie sich über das Moodle-Portal für die Veranstaltung an

Inhalt

Das Integral stetiger Funktionen, das Sie in der Analysis 1 und 2 kennengelernt haben, ist ein Integralbegriff, der sehr anschaulich ist und sich mit wenig technischem Aufwand einführen lässt. In vielen mathematischen Teilgebieten stellte sich jedoch heraus, dass dieser konventionelle Integralbegriff nicht allgemein genug ist, um zahlreiche wichtige Phänomene zu beschreiben.

Im Zentrum dieser Vorlesung steht die Entwicklung des Lebesgue-Integrals, das in vielerlei Hinsicht schönere strukturelle Eigenschaften besitzt. Hierfür wird als erstes der Begriff des Maßraums eingeführt, welcher den anschaulichen Begriff der "Inhaltsmessung" axiomatisiert.  Anschließend wird dazu eine allgemeine Integrationstheorie entwickelt. Genauer werden in der Vorlesung folgende Themen behandelt:

  • Maßräume und der Begriff der Messbarkeit
  • Konstruktion von Maßen und das Lebesgue-Maß
  • Integration über Maßräumen
  • Grenzwertsätze für das Lebesgue-Integral: Satz von der monotonen und majorisierten Konvergenz
  • Der Satz von Fubini

Die Theorie der Maße und des Lebesgue-Integrals wird im Laufe Ihres weiteren Studiums eine große Rolle spielen, weil sie zum Beispiel grundlegend für die folgenden Gebiete ist:

  • Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
  • Finanzmathematik
  • Analysis und Numerik partieller Differentialgleichungen
  • Funktionalanalysis
  • Harmonische Analysis
  • Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Literatur

  • Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie, de Gruyter, 1992
  • Royden, H.L.: Real Analysis, Macmillan, 1988
  • Rudin, W.: Reelle und komplexe Analysis, Oldenbourg, 2009
  • Elstrodt, J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2005

Übungen

Das regelmäßige Bearbeiten von Übungsaufgaben ist enorm wichtig, um die Vorlesungsinhalte zu verstehen und zu vertiefen. Im Moodle-Portal wird jede Woche ein Übungsblatt zur Verfügung gestellt, für dessen Bearbeitung Sie eine Woche Zeit haben. Anschließend werden Ihre Blätter korrigiert und die erreichten Übungspunkte im Moodle eingetragen. Sie benötigen - über das Semester gemittelt - mindestens 50% der Übungspunkte um zur Klausur zugelassen zu werden.

MathLab

Wie in den Grundvorlesungen gibt es auch für diese Veranstaltung ein MathLab, in dem Sie beliebige fachliche Fragen stellen und gemeinsam an Übungsaufgaben arbeiten können. Das MathLab wird von Doktoranden und erfahrenen studentischen Hilfskräften betreut, denen beliebige Fragen zum Vorlesungsinhalt und zu Übungsaufgaben gestellt werden können. Bei Fragen zu den abzugebenden Übungsaufgaben werden Tipps und Hilfestellungen gegeben, aber natürlich werden keine Lösungen verraten. Die Termine und Räume für das Mathlab sind 

  • 1. Zeitraum:  Montag 14-16 Uhr
    • Arbeitsraum (Bitte auf Ruhe achten): HeHo22 1.41
    • Diskussionsraum: HeHo22 1.42
  • 2. Zeitraum: Mittwoch 16-18 Uhr
    • Arbeitsraum (Bitte auf Ruhe achten): HeHo22 1.41
    • Diskussionsraum: HeHo22 1.42

Prüfung

Am Ende des Semesters findet eine schriftliche Klausur statt. Um zu dieser Prüfung zugelassen zu werden, müssen Sie - gemittelt über das gesamte Semester - mindestes 50% aller Übungspunkte erreichen.

Klausurtermine:

  • Freitag, 06.03.2020
  • Dienstag, 21.04.2020

Prüfungsrelevanz

Die Vorlesung ist eine Pflichtveranstaltung für Studenten einiger mathematischer Studiengänge. Einzelheiten sind in der jeweiligen Prüfungsordnung geregelt.

Voraussetzungen

Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra oder vergleichbare Vorlesungen.

 

Betreuung

Termine und Räume

  • Vorlesung: Dienstag, 14-16 Uhr im Hörsaal Chirurgie
  • Übungen: Freitag, 10-11 Uhr im Hörsaal H3 (Gebäudekreuz N25)

Umfang

  • 2+1 SWS
  • 4 ECTS-Punkte