Funktionalanalysis

"Die Grundidee der Funktionalanalysis ist es, Folgen oder Funktionen als Punkte in einem geeigneten Vektorraum zu interpretieren und Probleme der Analysis durch Abbildungen auf einem solchen Raum zu studieren. Zu nichttrivialen Aussagen kommt man aber erst, wenn man Vektorräume mit einer Norm versieht und analytische Eigenschaften wie Stetigkeit etc. der Abbildungen untersucht." (aus dem Vorwort des Buches von Dirk Werner)

In der Vorlesung werden zunächst die Grundbegriffe von Banachräumen, Hilberträumen und Linearen Operatoren erläutert. Im Mittelpunkt stehen dann die zentralen Sätze dieser Theorie: Der Satz von Hahn-Banach und Lax-Milgram, der Satz von der stetigen Inversen und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.
Ferner werden Eigenschaften kompakter Operatoren und reflexiver Räume diskutiert und der Spektralsatz vorgestellt. Anschließend werden wir uns mit Fredholmtheorie beschäftigen.

Dabei werden alle Themen der Vorlesung beispielhaft in verschiedenen Bereichen Anwendung finden, wie etwa Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen und Sobolevräume.

Funktionalanalytiker falten, um zu glätten.

Aktuelles

Die Anmeldung in Moodle ist notwendig um erfolgreich an der Vorlesung teilnehmen zu können.

Online-Lehre

Vorlesung

Aufgrund der aktuellen Corona Pandemie finden keine Vorlesungen an der Universität statt. Die Vorlesungen werden wöchentlich dienstags in Moodle hochgeladen.

Quiz/Übung

Übungsblätter und Quizze werden mittwochs in Moodle hochgeladen. Die Teilnahme an den Quizzen ist nur über Moodle möglich und notwendig um die Vorleistung zu bestehen. 

Betreuung

Dozentin: Prof. Dr. Anna Dall'Acqua

Übungsleiter: Farid Mohamed

Übungsblätter

Voraussetzungen, Zielgruppe und Prüfungsmodalitäten

Für das erfolgreiche Absolvieren der (4+2)-Veranstaltung gibt es 9 ECTS - Punkte. Die Veranstaltung kann sowohl im Bachelor Mathematik/WiMa/MaBi als auch im Master als Wahlpflichtmodul im Modul Reine Mathematik (Analysis) angerechnet werden.

Sie ist grundlegend für weitere Vorlesungen im Bereich Analysis (vergleiche auch diese Seite), etwa Partielle Differenzialgleichungen, Variationsrechnung, Evolutionsgleichungen oder harmonische Analyse (Fourieranalysis), hat aber auch wichtige Anwendung in so gut wie allen anderen Gebieten, wie etwa der Numerik, der Stochastik, der Finanzmathematik und natürlich der Physik. Selbst ein rudimentäres Verständnis der Funktionalanalysis macht einem in den meisten Anwendungen "das Leben leichter".

Die Veranstaltung "Elemente der Funktionalanalysis" ist KEINE Voraussetzung für diese Veranstaltung.

Die Form der Prüfung wird zu Semesterbeginn bekannt gegeben.

Es werden wöchentlich ein Quiz (4-5 "richtig oder falsch" Fragen) und ein Übungsblatt ausgegeben.

Zum Bestehen der Vorleistung sind 50% der Gesamtpunkte im Quiz hinreichend.

Die Übungsblätter werden nicht korrigiert und fließen somit auch nicht in die Vorleistung ein. 

Literatur

Alt; Lineare Funktionalanalysis

Brezis; Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations

Dobrowolski; Angewandte Funktionalanalysis

Werner; Funktionalanalysis