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Zu Blatt 4:

• Die Folge in Aufgabe 1 ist für einige Punkte konstant 0. Bei allen anderen Punkten kann man die Konvergenz und den Grenzwert durch eine Aussage aus der Vorlesung direkt nachweisen. Man sollte sich auch fragen, warum dies für die anderen Punkte nicht möglich ist. Warum ist diese Reihe wichtig? Diese bereitet auf die Zusatzaufgabe 5 vor und wird dort benötigt. Das sollte man also als Motivation verstehen. Die Motivation ist also die Konvergenz für Funktionen mit Spüngen zu verstehen und in der Aufgabe 1 ergibt sich eine solche Funktion als Grenzwert.
• Aufgabe 2 behandelt ein erstes singuläres Integral. In der Aufgabe versteht man nicht direkt, dass es sich um ein singuläres Integral handelt. Dies wird erst in Aufgabe 4 klar. Die Beschränktheit des Operators ist sagt also etwas aus über die Beschränktheit einer Faltung mit singulärem Kern. Der Beweis der Beschränktheit ist (weil sich die Fouriertransformation so gut verhält auf L2 - auf Lp ist die Situation schon wieder sehr schwierig) sehr einfach.
• Aufgabe 3 geht nochmal auf den nicht-trivialen Typ aus der Vorlesung ein. Skalarwertig konvergiert die Fourierreihe für stetig differenzierbare Funktionen absolut und gleichmäßig. Für banachraumwertige Funktionen ist das nicht der Fall. Dies kann man sehr explizit an diesem Beispiel nachrechnen. Hier kann man auch nochmal lernen (wiederholen) mit dem Banachraumwertigen Fall zu arbeiten.
• Aufgabe 4 zeigt, dass die Hilberttransformation aus Aufgabe 4 als Faltung mit einem singulären Kern (d.h. nicht integrierbaren Kern, d.h. man kann Young nicht anwenden) geschrieben werden kann. Das geht ähnlich wie man die Fourierreihe als Faltung über den Dirichlet-Kern schreibt (nur muss man hier noch einen Grenzwert bilden - siehe Hinweis).
• Zusatzaufgabe 5 untersucht die Fouriertransformation für stückweise stetig differenzierbare Funktionen mit Sprungstellen. Dies bekommt man sozusagen geschenkt. Die Aussage geht noch viel allgemeiner, wenn man den Satz von Fejer etwas verallgemeinern würde.
• Zusatzaufgabe 6 erklärt warum Fourier-Multiplikatoren (wie die Hilberttransformation) so wichtig sind. Im wesenlichen sind alle shiftinvarianten beschränkten Operatoren dadurch gegeben. Diese Aufgabe hat das Ziel genau das zu beweisen.
• Zusatzaufgabe 7 liefert einen ersten Beweis für die Poissonsche Summenformel.Wir werden wahrscheinlich später nochmal einen sehr schönen, elementaren und äußerst eleganten Beweis für dieselbe Aussage geben, der nur elementare Argumentation über Distributionen darstellt.
• Wir wissen (Riemann-Lebesgue), dass jede Fouriereihe einer integrierbaren Funktion eine Nullfolge darstellt. Die Frage ist, ob auch jede Nullfolge die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion ist (vgl. den Fall von 2-integrierbar, wo jede 2-summierbare Reihe die Fourierreihe einer 2-integrierbaren Funktion ist). Man könnte ein abstraktes Argument geben, dass die Existenz einer Nullfolge zeigt, die nicht die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion ist. Es ist aber auch sehr schön, wenn man es schaft konkrete Gegenbeispiele zu bauen. Dies ist die Aufgabe hier. Man wird also angeleitet einen konkrete Nullfolge zu finden, die nicht die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion ist.

Zusatzbemerkung:

Die Tatsache, dass die Fourierreihen der integierbaren Funktionen keine abgeschlosse Menge im Raum der beschränkten Funktionen bilden, macht Faltungen mit singulären Kernen (vektorwertig und in) Lp schwerer als im skalarwertigen L2-Fall (hier ist die Fouriertransformation sogar surjektiv in die 2-summierbaren Reihen!).

Diesen Defekt behebt die Calderon-Zygmund-Theorie (diese schreibt Lp Funktionen in kontrollierbarer Weise als L2 Funktioen und osz. Resttermen; Die Restterme kann man dann getrennt über gute Eigenschaften der Kerne behandeln).