Oberseminar Algebra & Number Theory, Ulm

Expected talks in Winter Semester 2021-2022 - Scheduled to take place: Thursdays, 4 p.m. - 6 p.m. (Room E60, He 18)

  • 28.10.2021: Tim Evink, A remark on congruent numbers
  • 04.11.2021: Jan Sijsling, Kubische Erweiterungen mit vorgeschriebener Verzweigung (I)
  • 11.11.2021: Jan Sijsling, Kubische Erweiterungen mit vorgeschriebener Verzweigung (II)
  • 18.11.2021: Andreas Pieper, Introduction to Mumford´s theory of theta groups and algebraic theta nullvalues (I)
  • 25.11.2021:  Andreas Pieper, Introduction to Mumford´s theory of theta groups and algebraic theta nullvalues (II)
  • 02.12.2021: Stefan Wewers, Special divisors - an introduction (I)
  • 09.12.2021: Stefan Wewers, Introduction to special divisors, II: The Existence and Connectedness Theorem
  • 16.12.2021: Stefan Wewers, Inroduction to special divisors, III: Kempf's singularity theorem
  • 20.01.2022: David Hokken (Utrecht), Galois Groups of Littlewood Polynomials (VT)
  • 27.01.2022: Barinder Banwait (Heidelberg), Rational p-isogenies of elliptic curves (VT)

*VT = Virtual talk

External Auditors (in case of virtual talks)

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Abstracts WS 2021-2022

The talk will focus on the classical subject of congruent numbers. Specifically we focus on determining whether a prime p =1 mod 8 is congruent. A prime is congruent precisely when the elliptic curve defined by y^2=x(x^2-p^2) has positive rank. A basic 2-descent over Q gives an upper bound of 2 of the rank, which we can improve for half of the primes to 0 via a 2-descent over a quadratic extension of Q. Interestingly this sharper rank bound is not new, but its connection to 2-descent over a quadratic number field is. Lastly we will also show that Bouniakowsky's conjecture implies the existence of infinitely many congruent primes of the form 1 mod 8.

In diesem Vortrag wird beschrieben, wie man kubische Überlagerungen der projektiven Gerade konstruiert, die an vorgeschriebenen Stellen verzweigen. Die meisten Ergebnisse sind arithmetisch: Mit anderen Worten gelten sie über beliebigen Grundkörpern. Am Ende des Vortrags werden Parshin-Überlagerungen beschrieben: Dies sind Überlagerungen von Kurven höheren Geschlechts, die in genau einem Punkt verzweigen.

Die Ergebnisse in diesem Vortrag sind eine Zusammenarbeit mit Valentijn Karemaker und Sophie Marques.

In diesem Vortrag wird beschrieben, wie man kubische Überlagerungen der projektiven Gerade konstruiert, die an vorgeschriebenen Stellen verzweigen. Die meisten Ergebnisse sind arithmetisch: Mit anderen Worten gelten sie über beliebigen Grundkörpern. Am Ende des Vortrags werden Parshin-Überlagerungen beschrieben: Dies sind Überlagerungen von Kurven höheren Geschlechts, die in genau einem Punkt verzweigen.

Die Ergebnisse in diesem Vortrag sind eine Zusammenarbeit mit Valentijn Karemaker und Sophie Marques.

First we explain the results of Mumford's paper "On the equations defining Abelian Varieties I". The main goal is to understand his definition of algebraic theta nullvalues.

In the second part of the talk we focus on the computational problem of computing these nullvalues. One of our results is the explicit construction of Moret-Bailly families.

First we explain the results of Mumford's paper "On the equations defining Abelian Varieties I". The main goal is to understand his definition of algebraic theta nullvalues.

In the second part of the talk we focus on the computational problem of computing these nullvalues. One of our results is the explicit construction of Moret-Bailly families.

Littlewood polynomials are single-variable polynomials all of whose coefficients lie in {±1}. Their set of zeros form a fascinating subset of the plane with fractal-like properties. On the algebraic side, Breuillard and Varjú recently showed — assuming the Extended Riemann Hypothesis — that the Galois group of an arbitrary Littlewood polynomial of degree n contains the alternating group A_n with probability one as n tends to infinity. Such a probabilistic approach to Galois theory (initiated by Van der Waerden in the 1930s) doesn’t easily distinguish A_n from the symmetric group S_n as most likely Galois group of a Littlewood polynomial. Instead, we consider the discriminant of f, which is a square if and only if Gal(f) is contained in A_n.

Based on extensive numerical evidence, we pose as a main conjecture that every Littlewood polynomial with square discriminant actually has a much smaller Galois group, and that irreducible Littlewood polynomials with square discriminant only exist in particular degrees. This thesis consists of a study of these small-Galois group polynomials, and includes various new results and conjectures that confirm or specify the main conjecture in particular settings. In addition, we show that the closure of the set of roots of Littlewood polynomials with square discriminant is a connected subset of the complex plane.

Let K be a number field not containing the Hilbert Class Field of an imaginary quadratic field. We describe an algorithm to compute a superset of the set of primes for which there exists an elliptic curve over K admitting a K-rational p-isogeny. Combining this algorithm with recent work of Box-Gajović-Goodman, we determine the above set of isogeny primes for several cubic fields including Q(zeta7)^+ . The termination of the algorithm relies on the Generalised Riemann Hypothesis. This is joint work with Maarten Derickx.

Former talks

  • 18.03.2021: Andreas Pieper, Constructing all genus 2 curves with supersingular Jacobian
  • 25.03.2021: Tim Evink, Two-descent on some genus two curves
  • 01.04.2021: Robert Slob, Primitive divisors of sequences associated to elliptic curves over function fields
  • 22.04.2021: Bogdan Dina, Isogenous (non-)hyperelliptic CM Jacobians: Constructions, results, and CM types
  • 29.04.2021: Jeroen Sijsling, Isogenous (non-)hyperelliptic CM Jacobians: Shimura class groups, algorithms, and equations
  • 06.05.2021: Stefan Wewers, Computing semistable reduction of curves via nonarchimedian analytic geometry
  • 20.05.2021: Stefan Wewers, Computing semistable reduction of curves via nonarchimedian analytic geometry
  • 27.05.2021: Ole Ossen, Semistable reduction of quartics at p=3
  • 15.07.2021: Jeroen Sijsling, Isomorphisms between hyperelliptic and quartic curves

  • 17.01.19: Jeroen Sijsling, Picard-Kurven: Gleichungen und Invarianten
  • 24.01.19: Irene Bouw, Spezielle Picard-Kurven: Twists und Führerexponenten
  • 31.01.19:  Duc Khoi Do, Rekonstruktion von Frobenius-halbeinfachen Weildarstellungen mithilfe ihrer lokalen Polynome
  • 07.02.19: Paula Truöl,  Massey products and linking numbers
  • 02.05.19: Irene Bouw, Der Parshin-Trick
  • 09.05.19: Jeroen Hanselman, Semi-abelsche Varietäten und ihre Néron-Modelle
  • 23.05.19: Duc Khoi Do, Galoisdarstellungen und Endlichkeitssätze
  • 06.06.19: Sabrina Kunzweiler, Die Faltingshöhe, I
  • 13.06.19: Stefan Wewers, Die Faltingshöhe, II
  • 27.06.19:  Jeroen Sijsling, Die Tate-Vermutung
  • 27.06.19: Angel Villanueva, Joint Distribution of Hecke and Casimir Eigenvalues for Automorphic Forms
  • 04.07.19: Irene Bouw, p-dividierbare Gruppen und die Hodge-Tate-Zerlegung
  • 27.06.19: Jeroen Sijsling, Beweis der Mordell-Vermutung
  • 17.10.219: Dr. Sophie Schmieg (Google, USA), Cryptography at Google
  • 24.10.19: Felix Göbler (Frankfurt), Das Zahlkörpersieb
  • 31.10.19: Jeroen Sijsling, Kubische Erweiterung mit vorgeschriebener Verzweigung
  • 14.11.19: Andreas Pieper, Die Leopoldt-Vermutung und die Geometrie der Zahlen
  • 21.11.19: Andreas Pieper, Die Leopoldt-Vermutung und die Geometrie der Zahlen II: Gitterpunkte in Kreuzpolytopen und Kugeln
  • 28.11.19: Sabrina Kunzweiler, Reduktionstypen von ebenen Quartiken
  • 05.12.19: Stefan Wewers, Torische Flächensingularitäten
  • 12.12.19: Bogdan Dina, Hyperelliptic curves with complex multiplication via Shimura reciprocity
  • 23.01.20: Jeroen Hanselman, Algorithmen für das Verkleben von Jacobischen
  • 24.01.20: Tim Evink (Universiteit Groningen), 2-Descent on hyperelliptic curves of genus 2
  • 30.01.20: Duc Do, Galois-Darstellungen elliptischer Kurven mit potentiell guter Reduktion
  • 06.02.20: Robert Slob (Universiteit Utrecht), Divisibility sequences of elliptic curves of characteristic 0
  • 07.02.20: Mike Daas (Universiteit Amsterdam), The sympletic method
  • 28.05.20: Sabrina Kunzweiler, Superelliptische Kurven und ganze Differentialformen
  • 15.10.20: Jeroen Sijsling, Abstieg algebraischer Kurven
  • 22.10.20: Jeroen Sijsling, Abstieg algebraischer Kurven returns
  • 29.10.20: Stefan Wewers, The Tate curve: Illustrating the connection between reduction and non-archimedean uniformization

  • 12.01.17: Stefan Wewers, Picard-Kurven mit kleinem Führer
  • 26.01.17: Jeroen Sijsling, Die Rekonstruktion quartischer Kurven aus ihren Invarianten
  • 02.02.17: Jeroen Hanselman, Non-hyperelliptic genus 3 covers of curves
  • 09.02.17: Mohamed Barakat, Category theory is a programming language
  • 23.02.17: Stefan Wewers, Rigid analytic spaces a la Berkovich and adic spaces: a short introduction
  • 09.03.17: Irene Bouw, Dynamical Belyi maps
  • 20.04.17 Tudor Micu, Etale morphisms
  • 26.05.17 Pinar Kilicer (Oldenburg), On primes dividing the invariants of Picard curves. 
  • 01.06.17 Angelos Koutsianas, The Chabauty-Coleman method and rational points on curves.
  • 20.06.17 Roman Kohls, Spurformel und Gauss-Summen
  • 29.06.17 Irene Bouw, Reduction of Picard curves, I
  • 06.07.17  Jeroen Sijsling, Canonical models of arithmetic (1,∞)-curves
  • 13.07.17 Stefan Wewers, Reduction of Picard curves, II
  • 20.07.17 Jeroen Hanselman, Pairings and line bundles on abelian varieties
  • 26.10.17: Stefan Wewers, "MCLF: ein Werkzeugkasten zur Berechnung von Modellen von Kurven über lokalen Körpern"
  • 02.11.17: Christian Steck, Auflösen von zahmen zyklischen Quotientensingularitäten auf gefaserten Flächen
  • 16.11.17: Jeroen Sijsling, Endomorphismen algebraischer Kurven
  • 23.11.17: Stefan Wewers, Duality and canonical sheaf
  • 30.11.17: Martin Djukanovic, Some remarks on split Jacobians
  • 07.12.17: Martin Djukanovic, Split Jacobians--continued
  • 25.01.18: Jeroen Hanselman, Gluing Curves along their 2-torsion
  • 08.02.18: Sabrina Kunzweiler, Ogg's formula
  • 15.02.18: Tudor Micu, Models, valuations, and Berkovich trees
  • 22.02.18: Stefan Wewers, What is Intersection theory?
  • 19.04.18: Jeroen Sijsling, Split Jacobians in genus 3: an inventory
  • 03.05.18: Jeroen Sijsling, Endomorphisms of kind of special Picard curves and Richelot isogenies
  • 24.05.18: Jeroen Sijsling, Endomorphisms and Divisors
  • 07.06.18: Martin Djukanovic, Families of (3, 3)-split Jacobians
  • 14.06.18: Jeroen Sijsling, Endomorphisms and Divisors II
  • 21.06.18: Sabrina Kunzweiler, Discriminants of hyperelliptic curves
  • 28.06.18: Jeroen Hanselman, Prym Varieties
  • 12.07.18: Stefan Wewers, Resolution of wild arithmetic quotient singularities
  • 25.10.18: Jeroen Sijsling, Eine Datenbank von Belyi-Morphismen
  • 08.11.18: Andreas Pieper, Abelsche Varietäten mit komplexer Multiplikation
  • 15.11.18: Sabrina Kunzweiler, Differentialformen auf hyperelliptischen Kurven mit semistabiler Reduktion
  • 22.11.18: Roman Kohls, Eine obere Schranke für den Führerexponenten einer hyperelliptischen Kurve
  • 29.11.18: Stefan Wewers, Rationale Singularitäten und die kanonische Garbe
  • 06.12.18: Jeroen Hanselman, Ein Algorithmus zum Verkleben einer Kurve vom Geschlecht 1 und einer Kurve vom Geschlecht 2 entlang ihrer 2-Torsion
  • 13.12.18: Matthew Bisatt, Root numbers of abelian varieties

  • 12.05.15: Michel Börner, L-Reihen hyperelliptischer Kurven
  • 26.05.15: Michael Eskin, Semistabile Reduktion von 3-Punkt-Überlagerungen
  • 02.06.15: Stefan Wewers, Semistabile Reduktion einer gewissen Kurve vom Geschlecht 4 über Q_2
  • 09.06.15: Irene Bouw, Konstruktion von Kurven mit schlechter Reduktion an vorgegebenen Stellen
  • 16.06.15: Stefan Wewers, Was ist etale Kohomologie?
  • 23.06.15: Christian Steck, Etale Morphismen
  • 14.07.15: Roman Kohls, Lokale Konstanten und elliptische Kurven
  • 03.08.15: Tudor Micu, A weak version of Beilinson's conjecture for Rankin-Selberg products of modular forms
  • 22.10.15: Stefan Wewers, Reguläre und semistabile Modelle elliptischer Kurven: ein Miniprojekt
  • 05.11.15 Jeroen Hanselman, Bounding the field extension necessary to find a semistable model of finite covers of curves
  • 12.11.15: Stefan Wewers, Arithmetische Flächen
  • 19.11.15: Christian Steck, Reguläre Modelle und Quotientensingularitäten
  • 26.11.15: Christian Steck, ______, Teil 2
  • 03.12.15: Tudor Micu, The Kodaira classification of  the special fiber of the minimal proper regular model of an elliptic curve
  • 10.12.15: Roman Kohls, Classification of automorphism groups of elliptic curves
  • 21.01.16: Christina Höhn, Faktorisieren mit elliptischen Kurven
  • 28.01.16: Tudor Micu, MacLane valuations
  • 04.02.16: Michel Börner, Picard curves and L-functions
  • 11.02.16: Angelos Koutsianas, Computing elliptic curves with good reduction outside S
  • 18.02.16: Christian Steck, Blow-ups
  • 25.02.16: Roman Kohls, The sign of the functional equation of the L-function of an elliptic curve
  • 27.10.16: Angelos Koutsianas, Lebesgue-Nagell equation and the modular Approach
  • 10.11.16: Dimitris Xatzakos (Bristol), Hyperbolic lattice point counting in conjugacy classes 
  • 17.11.16 November: Gunther Cornelissen (Utrecht), A combinatorial Li-Yau equality and rational points on curves
  • 24.11.16 November: Tudor Micu: Sheaves, cohomology and local systems
  • 01.12.16: Roman Kohls, Semistable reduction of curves and Weil-Deligne representations, I
  • 08.12.16 Dezember: Roman Kohls, Semistable reduction and Weil-Deligne representations, II
  • 12.12.16 Dezember: Davide Lombardo (Orsay), On division fields of CM abelian varieties