WiMa-Praktikum II, Elliptische Kurven

Vorlesung findet statt!

Die Lehrveranstaltungen des Instituts für Algebra und Zahlentheorie finden im Sommersemester 2022 alle statt. Die Form wird den aktuellen Gegebenheiten angepasst.

Bitte melden Sie sich in Moodle für die Vorlesung an.

Grundinformationen zum Praktikum

Inhalt im Überblick

Eine elliptische Kurve ist eine Kurve E mit einer Gleichung der Form E : y^2 = x^3 + a x + b. Solche Kurven wurden zuerst verwendet bei der Berechnung von Bogenlängen von elliptischen Planetbahnen. Überraschenderweise haben sie auch viele Anwendungen in anderen wissenschaftlichen Bereichen, wie der Zahlentheorie und der Kryptographie.

Der Grund für diese Relevanz, ist dass neben der "normalen" Zahlengerade elliptische Kurven die einzigen anderen geometrischen Objekten von Dimension 1 sind, auf denen es ein einfaches (algebraisches) Gruppengesetz gibt. Dieses Gesetz wird verwendet in allen algebraischen Anwendungen, sowie auf Chipkarten wie Sie diese wahrscheinlich in Ihrer Tasche haben.

Im ersten, theoretischen Teil des Praktikums beschreiben wir die algebraische Gruppenstruktur auf einer elliptischen Kurve. Die Addition auf einer elliptischen Kurven lässt sich auch mithilfe geeigneter Durchschnitten der Kurve mit Geraden bilden. Unter dieser Addition bilden die Punkte auf der Kurven eine additive Gruppe. Ziel ist, diese Gruppe zu beschreiben, inbesondere wenn der Koeffizientenring QQ oder ein endlicher Körper ist.

Elliptische Kurven über endlichen Körpern spielen eine Rolle in der Kryptographie. Das Gruppengesetz auf der endlichen Menge von Punkten auf solch einer elliptischen Kurve ist einfach genug, um schnell damit rechnen zu können, aber (anders als die Addition auf der Zahlengerade) kompliziert genug, um eine gute Verschlüsselung zu ermöglichen. Dies ist das Thema der Elliptische-Kurven-Kryptographie. Wir besprechen dies kurz im Kontext vom Computeralgebrasystem SageMath, in den Sie eine Einführung bekommen, und zwar in seiner Online-Form CoCalc.

Im zweiten Teil des Kurses arbeiten Sie in kleineren Gruppen an Einzelthemen, wie zum Beispiel:

  • Berechnung der Weil-Paarung;
  • Elliptische-Kurven-Faktorisierung;
  • Elliptische-Kurven-Primzahltests;
  • Diskrete Logarithmen auf Elliptischen Kurven;
  • Den Schoof-Elkies-Atkin-Algorithmus.

Zielgruppe

Das Seminar richtet sich an alle Studierende der mathematischen Studiengänge. Die Anzahl Teilnehmer ist auf 12 beschränkt.

Voraussetzungen

  • Elemente der Algebra oder Algebra

Anmeldung

Per E-Mail an Jeroen Sijsling, mit Angabe von

  • Name, Matrikelnummer, Studiengang, Fachsemester
  • Liste aller bisher gehörten mathematischen Vorlesungen

Vor dem Semesteranfang findet eine (nicht verpflichtete) Besprechung der Veranstaltung statt.

Ablauf

Die aktuelle Lage angesichts COVID-19 stellt uns vor besonderen Herausforderungen. Das Betrieb der Vorlesung wird online stattfinden. Wiewohl dies ganz anders als gewöhnlich ist, kann Ihre Teilnahme genauso sinnvoll und erfolgreich sein wie auch sonst, wenn nicht mehr.

Es ist in dieser Hinsicht am wichtigsten, dass sie aktiv und kommunikativ an der Vorlesung teilnehmen. Glücklicherweise ist dies auch online möglich. Man wird Ihnen hierzu die benötigten Werkzeuge und Hinweise geben, und halte Sie auf dem Laufenden. Umgekehrt können Sie und all ihre Fragen und Bemerkungen mitteilen. Machen Sie dies aktiv, so haben Sie wegen des neuen Format mehr Möglichkeiten als je zuvor, um die Vorlesung auch selbst teilweise zu gestalten. Die Änderungen kommen somit mit großen Chancen.

In der ersten Hälfte hören Sie jede Woche, was das Thema ist, und bis wo man im den Quellen lesen soll. Nach diesem Lesen können Sie im Diskussionsforum (oder vielleicht in einem Online-Sprechstunde) ihre wichtigsten Fragen stellen und sagen, zu welchen Einzelheiten Sie gerne mehr hören möchten. Diese Fragen werden im Diskussionsforum beantworten. Ansonsten werden sehr wahrscheinlich erläuternden und ergänzenden Videos hochgeladen. Bei der Gestaltung dieser Videos spiele ihre Rückmeldungen eine wesentliche Rolle.

In der zweiten Hälfte wird es die Möglichkeit geben, auf CoCalc in Gruppen zu diskutieren. So können Sie diese Arbeit genauso interaktiv gestalten wie sonst.

Mehr Informationen finden Sie auf der Moodle-Seite des Kurses.

Betreuung

Virtuelle Lehrveranstaltung

Link auf Moodle-Seite

In Moodle finden Sie

  • alle Termine und aktuelle Informationen
  • Übungsblätter und das Vorlesungsskript
  • und vieles mehr.