Analysis 3

Die Vorlesung beschäftigt sich mit den Grundlagen der klassischen Vektoranalysis und der Fourieranalysis und kann als Fortsetzung zur Vorlesung  Analysis 2  verstanden werden. Diese Vorlesung ist aber auch für höhere Semester aus dem Bachelor geeignet.

Nach einer kurzen Wiederholung von Kurvenintegralen und dem Konzept von einfach zusammenhängenden Gebieten befassen wir uns mit reellen Untermannigfaltigkeiten, auf welchen sich mit Hilfe der Zerlegung der Eins eine Integrationstheorie entwickeln lässt. Damit lassen sich die zentralen Integralsätze formulieren und beweisen: der Gauß’sche Integralsatz und der Satz von Stokes. Diese sind durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung motiviert: Die Möglichkeit, das Integral über eine Ableitung durch die Auswertung der Stammfunktion über dem Rand des Integrationsbereiches anzugeben. Diese Sätze haben eine breite Anwendung, ob in der Physik (Elektromagnetismus) oder in der Mathematik (so ist etwa die Verallgemeinerung des Satzes von Stokes mit Hilfe der Differentialgeometrie grundlegend für den Satz von de Rham aus der algebraischen Topologie).

Im zweiten Teil der Vorlesung behandeln wir die klassische Theorie der Fourieranalysis. Dabei werden Funktionen ähnlich wie bei der Entwicklung in Taylorpolynome durch „einfachere“ Funktionen approximiert. Die Basis für diese Entwicklung bilden die trigonometrischen Funktionen, so dass wir geeignete Funktionen als Überlagerungen von Sinus- und Kosinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen darstellen können. 

Die Veranstaltung wendet sich sowohl an Studenten aus den Bachelorstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie als auch an Lehramtskandidaten.

Organisatorisches

Die Vorlesung und die zugehörigen Übungen  werden online stattfinden. Sämtliche Vorlesungsunterlagen und Übungsaufgaben (und Lösungen) werden im  entsprechenden Moodle-Kurs zur Verfügung gestellt. Zusätzlich wird  es wöchentlich einen Mini-Quiz zum Vorlesungsinhalt geben, welcher ebenfalls im zugehörigen Moodle-Kurs jeweils hochgeladen werden wird.  Sofern Sie an der Vorlesung teilnehmen möchten, melden Sie sich also bitte im zugehörigen Moodle-Kurs an.

Termine:

Zu folgenden Wochentagen werden im Moodle die entsprechenden Unterlagen wöchentlich hochgeladen:

  • Vorlesungsmaterial: Montag
  • Mini-Quiz: Montag
  • Übungsaufgaben: Donnerstag

Betreuung:

Dozentin: Prof. Dr. Anna Dall'Acqua
Übungsleiter: Frederic Weber

Prüfung

Die Prüfungen werden voraussichtlich mündlich durchgeführt. Als (2+1) - Vorlesung gibt es für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung 4 Leistungs- bzw. ECTS-Punkte im Modul "Wahlpflicht - Analysis".
Details zur Vorleistung werden noch bekannt gegeben.

Literatur

  • Forster - Analysis 3
  • Hildebrand - Analysis 2
  • Sauvigny - Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik
  • Walter - Analysis 2
  • Stein, Shakarchi - Fourier Analysis
  • Reed, Simon - Fourier Analysis, selfadjointness
  • Guenther, Lee - Partial differential equations of mathematical Physics and integral equations