Harmonische Analysis

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Termine

Vorlesung

Montag 10-12 Uhr in HeHo18, Raum 120
Dienstag 8-10 Uhr in HeHo18, Raum 120

Übung

Freitag 10-12 Uhr in HeHo18, Raum 120

Inhalt

Unter "Harmonischer Analyse" versteht man die mathematische Disziplin, die sich mit der Zerlegung von Funktionen in Grundschwingungen beschäftigt. Diese Fragestellung ist jedenfalls der Ursprung der Theorie und hat ihr den Namen gegeben. Im Mittelpunkt der Theorie stehen also Fourierreihen und die Fouriertransformation. Wir werden uns insbesondere mit Fouriermultiplikatoren beschäftigen: Mit welchen Folgen dürfen wir Fourierkoeffizienten von einem bestimmten Raum multiplizieren, sodass wieder eine Folge von Fourierkoeffizienten aus diesem Raum entsteht. Die Abhängigkeit von dem grundlegenden Funktionenraum ist offensichtlich. Für quadrat-integierbare Funktionen ist dies einfach zu beantworten. Dagegen fehlt eine vollständige Beschreibung für p-integrierbare Funktionen. Weil Fouriermultiplikatoren für p-integrierbare Funktionen eine große Bedeutung in der Analysis haben, werden hinreichende Kriterien eine große Rolle in der Vorlesung spielen.

In der Vorlesung wollen wir auf moderne Entwicklungen eingehen. Tatsächlich hat man in den letzten 20 Jahren Theoreme der harmonischen Analyse entdeckt, die äußerst nützlich für andere Disziplinen sind, etwa für die Theorie der partiellen Differenzialgleichungen und für die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Unsere Vorlesung liefert aber auch eine Grundausbildung in der Analysis:
Wir werden eine Einführung in die Distributionentheorie geben und
Techniken kennenlernen, die überall benutzt werden (wie Faltung,
Kernoperatoren, Interpolation).

Themen, die wir unter anderem behandeln wollen, sind:

  • temperierte Distributionen
  • Fourier-Transformation
  • reelle Interpolation
  • Calderon-Zygmund-Theorie
  • Littlewood-Paley-Ungleichungen
  • Fouriermultiplikatorsätze
  • Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen

Literatur

Wir empfehlen

  • Loukas Grafakos: Classical Fourier Analysis
  • Loukas Grafakos: Modern Fourier Analysis

Andere ausgewählte Bücher zu dem Thema sind

  • Elias Stein mit Timothy S. Murphy: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals
  • Yitzhak Katznelson: An introduction to harmonic analysis
  • R.E. Ewards, G.I. Gaudry: Littlewood-Paley and Multiplier Theory.

Diese Bücher finden Sie im Semesterapperat zur Vorlesung.

Voraussetzungen

  • Grundvorlesungen in Analysis und Lineare Algebra
  • Maßtheorie
  • nicht notwendig, aber vorteilhaft: Funktionalanalysis oder Elemente der Funktionalanalysis

Betreuung

Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Arendt

Übungen: Manuel Bernhard

Umfang

4+2 SWS, 9 ECTS-Punkte

Anerkennung als Prüfungsleistung

50% der Übungspunkte sind als Vorleistung notwendig. Es wird eine mündliche Prüfung am Ende des Semesters angeboten.