Diophantische Gleichungen

Übungsblätter

Für die Zulassung zur Prüfung benötigen Sie mindestens 50% der Punkte auf den Übungsblättern.

Die Übungsblätter sowie weitere Materialien finden Sie auf der Moodle-Seite der Vorlesung.

Grundinformationen zur Vorlesung

Inhalt

Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung, deren Koeffizienten ganze oder rationale Zahlen sind. Man interessiert sich für die Lösungen der Gleichung in den ganzen oder rationalen Zahlen. Ein berühmtes Beispiel ist die Fermat-Gleichung

              x^n + y^n = z^n.

Pierre de Fermat behauptete im Jahre 1637, dass diese Gleichung für n>2 keine Lösung (x,y,z) besitzt, für die x,y,z natürliche Zahlen sind. Diese Behauptung ist als Fermats Großer Satz bekannt geworden. Bewiesen wurde der Satz erst 1994 von Andrew Wiles.

Die Vorlesung ist konzipiert als eine Einführung in das sehr weite Feld der Diophantischen Gleichungen. Wir werden zunächst einige einfache Klassen solcher Gleichungen mit zahlentheoretischen Methoden behandeln (Pellsche Gleichung, allgemeine quadratische und kubische Gleichungen). Danach werden wir speziellere Techniken einführen und auf konkrete Beispiele anwenden (p-adische Zahlen, diophantische Approximation). Nach und nach werden wir auch die Beziehung zur algebraischen Geometrie herausstellen.

Voraussetzungen

Neben den Grundvorlesungen wird die Vorlesung "Elemente der Algebra" vorausgesetzt.

Zielgruppe und Prüfungsrelevanz

Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Bachelor-Studierende, die sich für Algebra und Zahlentheorie interessieren und sich in diesen Bereich vertiefen möchten. Im Anschluss an die Vorlesung können Themen für Bachelor- oder Staatsexamensarbeiten vergeben werden.

Bei der Vorlesung »Diophantische Gleichungen« handelt es sich um eine V2Ue1 Vorlesung, welche mit 4.5 LP angerechnet werden kann.

Bei Bedarf wird die Vorlesung auf Englisch gehalten.

Bachelor

Im Bachelor Mathematik und Wirtschaftsmathematik kann diese Vorlesung als Wahlpflichtmodul Reine Mathematik gewählt werden.

Master

Im Master Mathematik und Wirtschaftsmathematik kann diese Vorlesung nicht angerechnet werden.

Lehramt

Kann als Wahlpflicht im Master of Education (Lehramt Mathe) gewählt werden.

Prüfung

Die Vorlesung wird mit einer mündlichen Prüfung abgeschlossen. Prüfungstermine werden am Ende des Semesters bekanntgegeben.

Literatur

  • Silverman, J. und Tate, J.: Rational Points on Elliptic Curves, Springer
  • Ireland and Rosen: A classical Introduction to Modern Number Theory
  • S. Müller-Stach, J. Piontkowski: Elementare und Algebraische Zahlentheorie

Betreuung

Termine

  • Vorlesung - ab 17.10.2019
  • Donnerstag, 8h-10h, N24, Raum 131
  • Übung - ab 21.10.2019
  • Montag, 16h-18h, N24, Raum 131

Wichtige Links