Seminar Elliptische Kurven

Grundinformationen zum Seminar

Inhalt im Überblick

 

Eine elliptische Kurve ist eine Kurve E mit einer Gleichung der Form E : y^2 = x^3 + a x + b. Solche Kurven wurden zuerst verwendet bei der Berechnung von Bogenlängen von elliptischen Planetbahnen. Überraschenderweise haben sie auch vielen Anwendungen in anderen wissenschaftlichen Bereichen, wie der Zahlentheorie und der Kryptografie.

Der Grund für diese Relevanz, ist dass neben der "normalen" Zahlengerade elliptische Kurven die einzigen anderen geometrischen Objekten von Dimension 1 sind, auf denen es ein einfaches (algebraisches) Gruppengesetz gibt. Dieses Gesetz wird verwendet in allen algebraischen Anwendungen, sowie auf Chipkarten wie Sie diese wahrscheinlich in Ihrer Tasche haben.

Das erste, mehr theoretische und sehr wundervolles Teilthema des Seminars ist die Theorie der elliptischen Funktionen, die am Anfang der Geschichte der elliptischen Kurven entwickelt wurde. Dies Thema ist auch interessant für Studierenden mit Interessen in der Analyis, da es periodische meromorphe Funktionen auf der komplexe Ebene studiert.

Nächstes ist die Beschreibung der algebraischen (anstatt analytischen) Gruppenstruktur. Die Addition auf einer elliptischen Kurven lässt sich auch mithilfe geeigneter Durchschnitten der Kurve mit Geraden bilden. Unter dieser Addition bilden die Punkte auf der Kurven eine additive Gruppe. Das zweite Ziel ist, diese Gruppe zu beschreiben, nicht nur, wenn der Koeffizientenring CC ist, sondern auch, wenn sie QQ oder sogar ein endlicher Körper ist.

Zuletzt spielen elliptische Kurven über endlichen Körpern eine Rolle in der Kryptographie. Das Gruppengesetz auf der endlichen Menge von Punkten auf solch einer elliptischen Kurve ist einfach genug, um schnell damit rechnen zu können, aber (anders als die Addition auf der Zahlengerade) kompliziert genug, um eine gute Verschlüsselung zu ermöglichen. Dies ist das Thema der Elliptische-Kurven-Kryptographie.

Eine weitere Beschreibung der einzelnen Themen finden Sie unten.

Literatur

  • Silverman, Tate, Rational points on elliptic curves
  • Silverman, The arithmetic of elliptic curves

Zielgruppe

Das Seminar richtet sich an alle Studierende der mathematischen Studiengänge. Die Anzahl Teilnehmer ist auf 12 beschränkt.

Voraussetzungen

  • Elemente der Algebra oder Algebra

Anmeldung

Per E-Mail an Jeroen Sijsling, mit Angabe von

  • Name, Matrikelnummer, Studiengang, Fachsemester
  • Liste aller bisher gehörten mathematischen Vorlesungen

 

 

Betreuung