Algorithmische Algebra

Inhalt

Ziel der Computeralgebra ist es, Algorithmen zur effektiven Lösung von algebraischen Problem zu entwickeln. Im Gegensatz zur Numerik versucht  man stets, exakte Lösungen eines Problems zu finden. Die moderne Computeralgebra ist ein sich rasant entwickelndes Forschungsgebiet und spielt sowohl in der reinen Mathematik (algebraische Geometrie, Zahlentheorie) als auch in der angewandten Mathematik (Kryptographie, Codierungstheorie, Robotik) eine immer größer werdende Rolle.

Die Vorlesung ist eine Einführung in die Computeralgebra, mit einem Schwerpunkt auf Anwendungen in Algebra und Zahlentheorie. Wir werden folgende Themen behandeln:

  • Lösen algebraischer Gleichungssysteme mit Gröbner-Basen
  • Gitterreduktion und kürzeste Vektoren
  • Faktorisieren von ganzen Zahlen und Polynomen

In den Übungen werden wir mit dem Computeralgebrasystem SageMath arbeiten.

Voraussetzungen

Neben den Grundvorlesungen wird die Vorlesung Elemente der Algebra vorausgesetzt. Relevante Kompetenzen: Gruppentheorie und elementare Ringentheorie (Polynomringe, Hauptidealringe, größte gemeinsame Teiler).

Lernziele

Der Kurs entwickelt folgende Fähigkeiten:

  • Kenntnis der wichtigsten computer-algebraischen Methoden und Begriffe (Gröbner-Basen, Gitter, Zerlegung)
  • Verständnis der unterliegenden mathematischen Theorie (Buchberger-Algorithmus, LLL, Quadratischer Sieb)
  • Verständnis der Anwendungen dieser Methoden in theoretischen Bereichen wie Algebraiche Geometrie und Zahlentheorie und in angewandten Bereichen wie Kryptographie und Kodierungstheorie
  • Analyse der Anwendbarkeit der gelernten Methoden (welches Zerlegungsverfahren soll man wann anwenden?) und ihre Laufzeiten (welche Berechnungen mit Gröbner-Basen sind realistisch durchführbar?)
  • Die Kompetenz, neben einem theoretischen Verständnis die obigen Methoden auch in einem konkreten computer-algebraischen System (SageMath) implementieren und verwenden zu können.

Zielgruppe und Prüfungsrelevanz

Die Vorlesung richtet sich an alle Bachelor-und Lehramtsstudierende der mathematischen Studiengänge. Sie kann als Ausgangspunkt für eine Vertiefung in den Bereich Algebra/Zahlentheorie dienen und auch als Vorbereitung für eine Bachelor- oder Staatsexamensarbeit.

Es handelt  sich um eine V2Ü1 Vorlesung, welche mit 4LP angerechnet werden kann.

  • Bachelor mathematische Studiengänge : Wahlpflicht Reine Mathematik
  • Master mathematische Studiengänge: keine Anrechnung möglich
  • Lehramt Mathematik, alte Studienordnung: Vertiefung Algebra/Zahlentheorie
  • Lehramt Mathematik, neue Studienordnung: Wahlmodul

Übungsblätter

Die Übungsblätter sowie die Punkte werden über Moodle verwaltet.

Prüfung

Die Vorlesung wird bestanden durch erfolgreiche Teilnahme an einer benoteten schriftlichen oder mündlichen Prüfung am Semesterende. Die Entscheidung über den Prüfungsmodus wird in den ersten Semesterwochen getroffen.

Zulassungsvoraussetzung zur Teilnahme an der Prüfung sind 50% der Übungspunkte. Eine Teilnahme an der Nachklausur ist auch ohne Teilnahme an der ersten Klausur möglich.

Literatur

  • von zur Gathen, Gerhard: Modern Computer Algebra
  • Cohen, Cuypers, Sterk: Some Tapas of Computer Algebra

Im Laufe der Vorlesung wird ein Skript erstellt.

Aktueller Ablauf

Die aktuelle Lage angesichts COVID-19 stellt uns vor besondere Herausforderungen. Der Betrieb der Vorlesung wird online stattfinden, wie unten beschrieben. Wiewohl dies ganz anders als gewöhnlich ist, sind wir völlig überzeugt, dass ihre Teilnahme genauso sinnvoll und erfolgreich sein kann wie auch sonst, wenn nicht mehr.

Es ist in dieser Hinsicht am wichtigsten, dass sie aktiv und kommunikativ am Kurs teilnehmen. Glücklicherweise ist dies auch online möglich. Wir werden Ihnen hierzu die benötigten Werkzeuge und Hinweise geben, und halten Sie auf dem Laufenden. Umgekehrt können Sie und all ihre Fragen und Bemerkungen mitteilen. Machen Sie dies aktiv, so haben Sie wegen des neuen Formats mehr Möglichkeiten als je zuvor, um die Vorlesung auch selbst teilweise zu gestalten. Die Änderungen kommen somit mit großen Chancen.

Details zum neuen Ablauf finden Sie auf der Moodle-Seite. Kurzgesagt sind die wichtigesten Änderungen:

  • Anstatt bei einer Vorlesung anwesend zu sein, lesen Sie jetzt selbstständig das Skript, machen Sie einen kleinen Quiz, um Ihr Verständnis zu überprüfen, und geben Sie Fragen und weiteren Feedback zu dem, was Sie gelesen haben. Nach Möglichkeit werden dann Videos erstellt, um die wichtigste Fragen zu beantworten, den Feedback zu besprechen, und weitere Beispiele zu machen.
  • Die Übungen finden auch online statt. Wir werden aktive Zusammenarbeit und Diskussion ermöglichen, da alle aktiv und engagiert am Kurs teilnehmen können.

Betreuung

Termine

  • Vorlesung - ab 04.11.2020
  • Mittwochs, 10:00 - 12:00 Uhr
  • Übung - ab 12.11.2020
  • Donnerstags, 10:00 - 12:00 Uhr

 

Wichtige Links

Die Übungsblätter und das Vorlesungsskript finden Sie in Moodle. Bitte melden Sie sich dort auch für die Vorlesung an.