Zu Blatt 3:
- Aufgabe 1 und Aufgabe 2 sind die gewünschten einfachen Aufgaben. Aufgabe 1 wird in zwei anderen Aufgaben auf diesem Blatt benötigt. Aufgabe 2 in Zusatzaufgabe 8.
- Aufgabe 3 gibt eine Standardanwendung für die Fourierreihen.
- Aufgabe 4 Zusatzaufgabe 6 und Zusatzaufgabe 7 halte ich für sehr wichtige Aufgaben. Es wäre gut, wenn man das verstehen würde (in der Reihenfolge der Wichtigkeit). Diese Aufgaben (wie auch Aufgabe 1 auf Blatt 2) stellen die Frage, ob man Operatoren auf skalarwertigen Funktionenräumen automatisch vektorwertig fortsetzen kann. Aufgabe 4 sagt ja, wenn Funktionenräume und der Vektorraum ein Lp-Raum (mit gleichem p) ist. Zusatzaufgabe 6 besagt, dass dies im Allgemeinen nicht geht und Zusatzaufgabe 7 besagt, dass dies geht, wenn der Banachraum ein Hilbertraum ist.
- Zusatzaufgabe 5 ist elementar und behandelt das Gibbsche Phänomen, das für die Anwendung (etwa in der Bildverarbeitung) von Bedeutung ist.
- Zusatzaufgabe 8 beweist (abstrakt ohne eine Funktion konkret anzugeben), dass für stetige Funktionen die Fourierreihe nicht konvergieren muss. Eine explizite Konstruktion ist etwas hässlich (Übungsaufgabe 3.3.6 in Grafakos Classical Fourieranalysis 2. Auflage).
Wo sind wir im Grafakos Classical Fourieranalysis:
- Wir waren gerade in Abschnitt 4.5 (in Auflage 2) Vector-Valued Inequalities unterwegs. Haben aber natürlich nicht alle Aussagen gemacht. Vieles aber deutlich ausführlicher.
- Wir kommen jetzt zu Kapitel 3 (in Auflage 2) Fourier Analysis on the Torus. Auch dort werden wir nur Ausschnitte machen (die wir mit dem bisherigen Wissen machen können).