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Zu Blatt 4:

Bei der letzten Aufgabe habe, die wir nicht mehr ganz geschaft haben und nächsten Freitag fertig machen werden, habe ich etwas im letzten Teil falsch gemacht. In der Lösung steht es richtig. Wir werden das aber nächste Woche sowieso nochmal machen (diesmal richtig). 

Schwierigkeitsgrad allgemein:

Das Blatt ist immer so aufgebaut, dass Aufgabe 1 und Aufgabe 2 eigentlich sehr einfach bzw. kurze Lösungen haben müssen, wo man eigentlich keine große Idee haben muss.

Falls euch die auf dem Blatt schon zu schwer sind, dann könnt ihr euch gleich melden (per Mail oder Feedback).

Aufgabe 3+Aufgabe 4 sind mittelschwer oder wichtig. Da kann auch mal was Knackiges (weil's mir aber wichtig erscheint machen dir das in der Übung) dabei sein. Wenn das der Fall ist, müsste es immer einen Ausweg auf eine andere Aufgabe auf dem Blatt (Zusatzaufgabe) geben. 

Die Zusatzaufgaben bestehen aus

-schweren Aufgaben, die interessant sind, aber keine zentrale Rolle in der Vorlesung spielen.

-mittelschweren Aufgaben, die nicht wichtig für die Vorlesung sind.

Wenn ihr das Blatt zu schwer (oder hart an der Grenze findet), dann meldet euch. Am besten bis Donnerstag Vormittag, damit ich Zeit habe noch was am nächsten Blatt zu ändern.

Zu Blatt 5:

• In Aufgabe 1 soll nochmal der Zusammenhang zwischen Hilberttransformation und holomorpher Fortsetzung besprochen werden. Wir zeigen aber nur eine der Richtungen von der Aussage (die, die man mit dem Wissen der Vorlesung direkt hinschreiben kann).
• Aufgabe 2 behandelt allgemeine Manipulationen von Fouriermultiplikatoren (wie man also aus Fourier-Multiplikatoren andere konstruieren kann).
• Aufgabe 3 behandelt die zweidimensionale Verallgemeinerung der Riesz-Projektion (für bestimmte p wird die Beschränktheit der Riesz-Projektion in Zusatzaufgabe 6 gezeigt!). Hier ist die Technik besonder wichtig. Mehrdimensionale Fragen kann man auf vektorwertige Fragen zurückführen. Zudem gibt es ein paar Fälle in denen das vektorwertige automatisch funktioniert. Das soll hier genutzt werden. 
• Aufgabe 4 behandelt die Approximation einer Funktion durch die 2-dim Fourierreihe. Das geht mit Aufgabe 3 fast genauso wie in der Vorlesung. Man muss also nur das aus der Vorlesung nochmal machen. Bemerkenswert ist hier die Bemerkung. Schon eine minimale Veränderung an der Art, wie die Fourierkoeffizienten summiert werden und das ganze stimmt nicht mehr. Dafür hat Fefermann unter anderem die Fieldsmedallie erhalten.
• Zusatzaufgabe 5 ist an sich eigentlich nicht interessant, sondern nur wichtig in Verbindung mit Zusatzaufgabe 6. Die Technik ist aber ganz witzig. Diese ansonsten nicht triviale Identität kann man leicht über die Charakterisierung der Hilberttransformation aus der Vorlesung/Aufgabe 1 zeigen.
• Zusatzaufgabe 6 zeigt die Beschränktheit der Hilberttransformation auf Lp für einige p (die sich in Unendlich und 0 häufen). Das ist also recht bemerkenswert! Wir können zum ersten Mal die Beschränktheit eines singulären Faltungsoperators auf Lp für p groß und geeignet zeigen. Dies funktioniert aber nur speziell für die Hilbetrtransformation. Es lässt sich keine allgemeine Technik daraus ableiten. Die allgemeine Technik kommt dann später (die Calderon-Zygmund-Theorie). 
• Zusatzaufgabe 7 soll einem den Umgang mit Oszillation vermitteln. Die Verwendung der Dreiecksungleichung beim Behandeln der Konvergenz schlägt gnadenlos fehl. Das Integral existiert aber wegen Oszillation dennoch. Wir haben einige Tricks mit Oszillation umzugehen. Hier wird eine davon benötigt.

• Zusatzaufgabe 8 zeigt, dass die Hilberttransformation auf L2, wenn man die Frage vektorwertig stellt i.A. negativ zu beantworten ist. In der Modernen Sprechweise lautet das: L1 ist nicht UMD.
• Zusatzinfo: UMD zu sein für einen Banachraum X ist äquivalent wegen der Kombination einiger nicht-trivialer Sätze zur Beschränktheit der X-wertigen L2 Hilberttransformation. Die Definition von UMD ist aber eine andere. UMD steht für "unconditional martingale differences". Das sind diejenigen Banachräume für die die alle X-wertigen Martingaldifferenzen unbedingt summierbar sind (das ist eine stochastische Eigenschaft!). Dies zeigt die enge Verbindung von harmonischer Analyse und Stochastik, die sehr weitreichend ist.

Meine Einschätzung zum Schwierigkeitsgrad:

• Aufgabe 1: einfach
• Aufgabe 2: einfach bis auf den Fall mit L^q. Der ist aber schon machbar.
• Aufgabe 3: Die braucht eine kleine Idee. Ansonsten recht direkt. mittelschwer
• Aufgabe 4: Da muss man einen Beweis aus der Vorlesung nochmal machen und an kleinen Punkten anpassen. mittelschwer
• Zusatzaufgabe 5: einfach
• Zusatzaufgabe 6: mittelschwer
• Zusatzaufgabe 7: einfach mit dem Hinweis (eine gute Übung das zunächst ohne Hinweis zu versuchen, um mehr Gefühl für die Oszillation zu bekommen)
  
• Zusatzaufgabe 8: mittelschwer