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Das Blatt sollte jetzt sehr einfach sein (um Blatt 4 etwas auszugleichen).
zu Blatt 6 (Schwierigkeitsgrad):
- Aufgabe 1 einfach - Ist nur eine Wiederholung. Sollte man wissen den Unterschied für diese Vorlesung. Wenn Ihr das gut kennt, wäre es besser eine andere Aufgabe zu machen.
- Aufgabe 2 einfach - Man macht einfach das aus dem Skript nochmal.
- Aufgabe 3 einfach aber etwas schwerer - Beachtet den Hinweis (und Zusatzaufgabe 8, wenn das nicht hilft).
- Aufgabe 4 ist recht einfach, weil wir das heute schon was sehr ähnliches gemacht haben
- Zusatzaufgabe 5 ist einfach - ausschreiben was zu zeigen ist und dann machen
- Zusatzaufgabe 6 ist einfach aber länglich - Kann man alles direkt machen (Aussagen ausschreiben! Dann sieht man es auch, dass es einfach ist). Es ist aber mehr aufzuschreiben als bei anderen Aufgaben.
- Zusatzaufgabe 7 ist sehr interessant aber schwer
- Zusatzaufgabe 8 ist mittelschwer.
zu Blatt 6:
- Aufgabe 1: Es ist wichtig den Unterschied von fast überall Konvergenz und dem was man aus der L^p Konvergenz bekommt, zu verstehen.
- Aufgabe 2: Ist eine Übungsaufgabe aus dem Skript. Dazu muss man einen Beweis aus der Vorlesung einfach nochmal machen.
- Aufgabe 3: Wir wissen bereits, dass polynomiell wachsende Funktionen temperierte Distributionen sind. Jetzt könnte man vermuten, dass jede superpolynomiell wachsende Funktion keine temperierte Distribution ist. Wenn man den ersten Teil beantwortet sieht das ja auch noch gut aus. Beim zweiten Teil der Aufgabe sieht man aber, dass da was nicht ganz stimmt. Und in der Tat können superpolynomiell wachsende Funktionen auch noch temperierte Distributionen liefern. Die allgemeine Antwort, welche Funktionen jetzt temperierte Distributionen sind, wird in Zusatzaufgabe 8 beantwortet.
- Aufgabe 4: Auf Blatt 4 ist und der Cauchy-Hauptwert in der Faltung begegnet. Dem Kern einer solchen Faltung geben wir nun Sinn. Dies spielt eine zentrale Rolle später.
- Zusatzaufgabe 5: Hier sieht man an einem Beispiel, dass die Konvergenz von Distributionen sehr allgemein (schwach) ist. Beim ersten Beispiel wird der Dirca-Impuls durch einen Mollifier approximiert (das ist klar). Man kann aber den Dirac-Impuls auch durch nicht-L^1-Funktioen approximieren (siehe zweites Beispiel). Entscheidend sind hier wieder Oszillationen!
- Zusatzaufgabe 6: Hier sieht man, dass die Schwarz-Funktionen dicht in den temperierten Distributionen sind. Es sind also die Fourier-Transformation, die Ableitung, etc. von Distributionen einfach nur die stetigen Fortsetzungen derselben Operationen auf den Schwarzfunktionen.
- Zusatzaufgabe 7: Das habe ich schon mehrfach erwähnt, aber nie gesagt, was ich damit meine. Die Fouriertransformation verhält sch schlecht auf L^p für p ungleich 2. Hier behandeln wir nur den Fall p>2. Beim Fall p<2 gibt es ein leicht anderes Problem.
- Zusatzaufgabe 8: Hier wird die Frage, was für stetige Funktionen temperierte Distributionen definieren. Allgemeiner ist jede temperierte Distribution die n-te (distributionelle Ableitung) einer polynomiell beschränkten stetigen Funktion.