Bei Fehlern, die euch auffallen, bitte melden (auch wenn etwas unklar ist).
Auch wenn ihr sonstige Fragen habt!
zu Blatt 7:
- Aufgabe 1: einfach, aber viel zu tun
- Aufgabe 2: Teil (a) ist sehr einfach. Teil (b) kann man explizit berechnen (würde ich nicht anraten) oder mit ein paar eleganten Argumentationen beweisen (siehe Hinweis). Fazit: mittelschwer
- Aufgabe 3: einfach
- Aufgabe 4: einfach
- Aufgabe 5: einfach
- Zusatzaufgabe 6: einfach mit dem Hinweis
- Zusatzaufgabe 7: einfach mit dem Hinweis
- Zusatzaufgabe 8: einfach mit dem Hinweis
zu Blatt 7:
- zu Aufgabe 1: Wir beweisen den einfachen Teil einer Aussage aus der Vorlesung, die nicht bewiesen wurde in (b). In der (a) zeigt man eine einfachere Version, wo die gleichen Techniken reinspielen.
- zu Aufgabe 2: Der wichtige Teil ist die (b). Das ist der Multiplikator/Kern der Hilberttransformation auf R^d! Das wird noch sehr zentral für uns werden. Diese Aufgabe sollte man versuchen! Auch deswegen um zu verstehen wie einfach man mit Distributionen argumentieren kann.
- zu Aufgabe 3: Elliptische DGL sind genau die DGLen, die man sehr gut mit Distributionen behandeln kann. In der Richtung gibt es einige nicht-triviale Resultate, wo Distributionentheorie eine essenzielle Rolle spielt. Wir behandeln hier den einfachsten Fall. Da man an der Aufgabe sehr gut sehen kann, wie Fourier-Multiplikatoren in der Praxis auftreten, halte ich diese Aufgabe für sehr wichtig! Man sollte sich auf alle Fälle daran versuchen.
- zu Aufgabe 4: Wer es noch nicht kennen sollte, für den führen wir hier die Sobolev-Räume in R^d ein (auf einer offenen Menge können wir das nicht, weil diese nicht-temperierte Distributionen benötigt). Wer Sobolevräume schon kennt, der dürfte hier keine Probleme haben. Wer die Räume noch nicht kennt, dem sei gesagt, dass diese Aufgabe sehr einfach ist und die Räume wichtig für die Praxis sind.
- zu Aufgabe 5: Die Behauptung gilt noch viel allgemeiner. Dies wird noch Thema der Vorlesung und/oder Übung sein. Den einfachsten und verständlichsten Fall haben wir hier als Aufgabe gestellt.
- zu Zusatzaufgabe 6: Hier wird der Zusammenhang von Fourierreihe und Fouriertransformation deutlich. Es stellt sich heraus, dass Fourierreihen nur ein Spezialfall der Fouriertransformation darstellen.
- zu Zusatzaufgabe 7 und 8: Da spielt einem wieder die Magie der Distributionen in die Hand. Meiner Meinung nach ist diese Aufgabe die schönste auf dem ganzen Blatt. Man kann die nicht-triviale Aussage (Poisson-Summenformel) einfach beweisen, indem man eine spezielle Distribution versteht/charakteristiert. Dies ist auch der Beweis (hier formalisiert), den Physiker, Ingenieure, etc. sehen. Distributionen erlauben die Argumente rigoros zu machen. Das ist auch eine entscheidende Motivation dafür (elegante, anschaulich und einfach Beweise - meist aus der Physik etc. bekannt - kann man mit Distributionentheorie nun formalisieren).