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Schwierigkeit der Aufgaben auf Blatt 8:
Um zu vermeiden immer nur einfach zu schreiben, hab' ich die Aufgaben diesmal (subjektiv) nach Schwierigkeit geordnet.
- Aufgabe 2 ist meiner Meinung nach die einfachste Aufgabe. Man muss nur weniges Dinge aus der Vorlesung zitieren.
- Aufgabe 1 und Aufgabe 3 kommen gleich hinterher (im Torusfall haben wir vieles davon schon gemacht).
- Auch Aufgabe 4 dürfte gut machbar sein.
- Zusatzaufgabe 5 ist eigentlich noch recht einfach. Nur eben etwas abstrakter.
- Schwerer ist dann schon Zusatzaufgabe 6 (aber wichtig!).
- Zusatzaufgabe 8 ist eigentlich nicht so schwer. Da im Gegensatz zu den anderen die Idee aber neu ist, habe ich die mal hier eingeordnet.
- Den Abschluss bildet Zusatzaufgabe 7. Diese ist mittelschwer und lang.
zu den Aufgaben:
- Aufgabe 1 und Aufgabe 3 sind die einfachen Manipulationen von Fouriermultiplikatoren. Es könnte sein, dass Aufgabe 3 auch in der Vorlesung gemacht wird.
- Aufgabe 2 sind Aussagen aus dem Skript nur anders hingeschrieben und auf den Unterschied von endlichem p und unendlichem p wird eingegangen (siehe auch Zusatzaufgabe 5)
- Aufgabe 4 beweist die maximale Regularität der einfachsten elliptischen Gleichung. Den Fall p zwischen 1 und Unendlich ist eines der wichtigsten Resultate dieser Vorlesung.
- Zusatzaufgabe 5 behandelt den fehlenden Fall von Aufgabe 2.
- Zusatzaufgabe 6 soll verdeutlichen, warum maximale Regularität nützlich ist. Dies machen wir an einem prototypischen einfachsten Beispiel, welches man nicht auch mit anderen Methoden sehr leicht behandeln könnte. Das ist für alle zu empfehlen, die verstehen wollen, warum diese Vorlesung wichtig ist für partielle Differentialgleichungen. Prädikat besonders wertvoll. Es gibt auch Beispiele der Anwendung in anderen Bereichen (Ergodentheorie, Zahlentheorie, Quantenphysik, ...).
- Zusatzaufgabe 7 behandelt einen (von vielen) Sätzen über Grenzwerte von Fouriermultiplikatoren.
- Zusatzaufgabe 8 behandelt den einfachen Fall des Ballmultiplikators. Es war lange Zeit vermutet und erwartet worden, dass dieser in jedem anderen Fall ein Multiplikator ist. Überaschenderweise hat C. Fefferman (Fields-Medaille) . Diese Aufgabe ist deshalb so schön, weil diese ein einfaches Beispiel eines L2 aber nicht Lp Multiplikators für große p gibt (und damit zeigt, dass unser Vorhaben nicht trivial ist). Prädikat wertvoll.