Bei Fehlern und Fragen wie immer an mich richten (oder im Moodle-Forum fragen). Eventuell ist zum Beispiel während den Ferien jemand schneller als ich.
Diesmal könnt ihr 80 statt 40 Punkte ergattern (euch also etwas Puffer zulegen).
Zudem gibt es diesmal keine Zusatzaufgaben, sondern Wiederholungsaufgaben. Ein wichtiges Thema hat (auch aus Zeitgründen) keine extra Aufgabe bekommen, das man auch als sehr wichtig sehen muss: Konvergenz der Fourierreihe (einfache Konvergenzarten)
Unten auf dem Blatt findet ihr eine Forschungsarbeit aus Tübingen, die ich sehr cool finde. Faltungen kommen vor. Deshalb hat das sogar etwas mit der Vorlesung zu tun. Diese haben einen neuronalen Algorithmus entwickelt, bei dem man ein einzelnes Bild eines Künstlers und ein einzelnes eigenes Bild als Eingabe benutzen kann und der Algorithmus versucht das Bild im Stile des Künstlers zu malen. Das habe ich mal beim Ulmer Münster gemacht (das findet sich auf dem Blatt). Auf regulärer "normaler" Hardware ist der Algorithmus Speicherplatz- und zeitintensiv!
Einschätzung der Schwierigkeit von Blatt 9 (von sehr leicht nach fast leicht):
- Aufgabe 1 und 3 sind denke ich die einfachsten Aufgaben.
- Dicht gefolgt von Aufgabe 4. Bis dahin ist es wirklich sehr einfach!
- Aufgabe 2 ist entstanden aus einer Frage letzte Woche. Und es ist schon sehr schön, wie weit man kommt.
- Wiederholungsaufgabe 5 alles außer (e).
- Wiederholungsaufgabe 6 die Techniken kennen wir schon, ist machbar.
- Wiederholungsaufgabe 7 die Techniken kennen wir schon, ist machbar.
- Wiederholungsaufgabe 5 (e) ist neuer, lehnt sich aber an alte Aufgaben (Fouriertransformation vom Signum und Dirac-Kamm berechnen) an: Berechnen/Ablesen der Fouriertransformation über Eigenschaften selbiger. Der schwere Teil ist aber nur der letzte Teil (e)!
Inhalt von Blatt 9:
- Aufgabe 1 benutzt den Interpolationssatz (der noch nicht bewiesen ist) und das was wir aus einer Zusatzaufgabe wissen, um zu zeigen, dass die Hilberttransformation tatsächlich beschränkt ist auf allen Lp für p echt zwischen 1 und Unendlich (zumindest auf dem Torus!).
- Aufgabe 2 ist entstanden aus einer Frage in der Übung die Woche davor. Die charakteristische Funktion ist nur ein Spezialfall der Fouriertransformation für Distributionen. Wichtige Eigenschaften der charakteristischen Funktion sind sehr leicht aus den Eigenschaften der Fouriertransformation abzulesen.
- Aufgabe 3 und 4 diskutieren die schwachen Lp-Räume. Die zweite Aufgabe zeigt, dass es sich bei der "Norm" zumindest um eine Quasinorm handelt und die Konstante auch bei vielen Faktoren relativ klein ist (dies ist aber recht allgemein automatisch richtig). Die erste Aufgabe zeigt, dass die "Norm" nur eine Quasinorm sein kann, es sich also nicht um eine Norm handelt. Auf einem späteren Blatt werden wir uns dan noch die Frage stellen, ob man nur die "falsche Norm" genommen hat. Erstaunlicherweise gibt es eine andere (diesmal echte) Norm mit derselben Topologie, falls p>1 gilt. Im Fall p=1 werden wir sehen, dass dies nicht der Fall sein kann. Mehr noch ist für einen quasi-Banachraum im Allgemeinen und schwach L1 im speziellen der Dualraum nur leer (der Satz von Hahn Banachgilt also nicht). Dazu später mehr.
- Wiederholungsaufgabe 5 ist wieder eine Aufgabe, wo man als Mathematiker viel rechnen würde (wenn man keine Distributionen kennt) wogegen man als Physiker das sehr leicht ohne Rechnung "sieht". Das ist hier glücklicherweise besser. Mit Distributionen kann man die Argumentation der Physiker formal machen. Das ist der Inhalt dieser Aufgabe.
- Wiederholungsaufgabe 6 beschäftigt sich damit, wie man aus eindimensionalen Multiplikatoren mehrdimensionale sehr leicht bekommen kann. Dies haben wir bereits für den Torus gesehen.
- Wiederholungsaufgabe 7 beschäftigt sich mit einer Anwendung (es gibt zahlreiche andere - meist schwerer zu verstehende in partiellen DGL und anderen Bereichen der Mathematik wie Zahlentheorie, Ergodentheorie,...) von Fouriermultiplikatoren. Da ich das für sehr wichtig halte, haben wir diese zu Zusatzaufgabe 6 auf Blatt 9 sehr ähnliche Übungsaufgabe eingebracht.