Zur Schwierigkeit der Aufgaben (von leicher zu schwerer):
- Aufgabe 1 und Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Zusatzaufgabe 7
- Zusatzaufgabe 6 (mit Hinweis)
- Zusatzaufgabe 5 (weil viele relativ leichte dann doch aufwändiger sind)
- Aufgabe 4
- Zusatzaufgabe 6 (ohne Hinweis)
- Zusatzaufgabe 8
Zum Inhalt:
- Aufgabe 1 zeigt, dass die schwachen Lp-Räume sehr weit von den Lp-Räumen selber entfernt sind. Dies kann man am Standardbeispiel nachrechnen.
- In Aufgabe 2 soll man die Hausdorff-Young-Ungleichung auch für den Torusfall gilt.
- In Aufgabe 3 soll man etwas mit der Maximalfunktion spielen und den Beweis des Differentiationstheorems nochmal durchgehen.
- Aufgabe 4 (a) ist wieder ein Problem mit vektorwertig machen. Da es sich um einen nicht-linearen Operator handelt, haben wir keine Resultate zur Verfügung und man muss dies hier sehr konkret versuchen zu beantworten. Dies lässt sich (siehe Zusatzaufgabe 7) in ein Differentiationstheorem umschreiben.
- Aufgabe 4 (b) zeigt, dass für diesen Maximaloperator keine schwache (1,1) Abschätzung gelten kann. Dies ist mit dem gegebenen Hinweis eine einfache Rechenaufgabe. Dies lässt sich in die Nicht-Gültigkeit eines Differentiationstheorems übersetzen. Den Spezialfall dafür erhalten wir in Zusatzaufgabe 8. Die dort beschriebene Methode kann aber verallgemeinert werden.
- Zusatzaufgabe 5 ist eigentlich sehr einfach. Da es sich aber um viele Teilaufgaben handelt, ist dann doch einiges zu tun. In Teil (a) wird gesagt, dass jeder Raum FTyp 1 hat. In Teil (b) wird gezeigt, dass man mehr als FTyp 1 nicht erwarten kann. Teil (e) ist dann noch sehr interessant, weil auch praktisch von Bedeutung (siehe Blatt 10 Aufgabe 7)
- Zusatzaufgabe 6 zeigt, dass es egal ist, ob man den Fouriertyp auf dem Torus oder dem Vollraum definiert. Die Idee ist es die Normen entsprechend ineinander umzuschreiben. Dies kommt häufiger vor! So kann man auch Multiplikatoren vom Torus (z.B. die Hilberttransformation) in eine vom Vollraum umschreiben (das ergibt im Beispiel wieder die Hilberttransformation).
- Zusatzaufgabe 7 zeigt einen Differentiationssatz für Lp-Funktionen für p>1. Dies ist nur die Beschränktheit aus 4(a) umgeschrieben und ausgenutzt.
- Zusatzaufgabe 8 zeigt dann, dass der Differentiationssatz aus Aufgabe 7 hier keine Gültigkeit hat. Es ist eine allgemeine Aussage, dass ein Differentiationssatz auf Lp genau dann gilt, wenn ein geeigneter Maximaloperator schwach (p,p) beschränkt ist. In dem Fall handelt es sich um den Maximaloperator aus Aufgabe 4 (a). Den Beweis diser Aussage halte ich für sehr elegent, weil das zentrale Argument geometrische/maßtheoretischer Natur ist.