Seminar Diskrete Geometrie für Bachelor Lehramt
Das Seminar im Wintersemester 2019/20 richtet sich an Bachelorstudierende im Lehramt Mathematik und behandelt ausgewählte geometrische Zerlegungsprobleme. Das Modul "Geometrie" wird dabei nicht vorausgesetzt. Das Seminar findet voraussichtlich als Blockseminar im Januar/Februar 2020 statt.
Ablauf und Aufgaben
- Die angegebene Literatur ist durchzuarbeiten und zu verstehen. Zur Klärung offener Fragen und Begrifflichkeiten und wenn die Literatur nicht umfangreich genug ist, soll selbständig recherchiert werden.
- Ausarbeitung und Präsentation eines Vortrags von 60 bis 80 Minuten Länge. Der Vortrag muss für alle Teilnehmenden verständlich sein.
- Erstellung einer schriftlichen Ausarbeitung zum Thema von 5 bis 10 Seiten Umfang.
- Interessiertes und kritisches Verfolgen der Vorträge der anderen Teilnehmenden (Nachfragen, Diskussion).
Lesenswerte Hinweise zum Erstellen eines Seminarvortrags finden Sie hier zum Beispiel.
Bei Interesse an der Seminarteilnahme schicken Sie mir bitte bis zum 24.7. eine Mail mit Studiengang und Fachsemester.
Themenübersicht
- Realisierungen regulärer und halbregulärer ebener Polygone und Dualität
- Hilberts drittes Problem - Motivation in der Ebene
Zwei Polygone haben genau dann den selben Inhalt, wenn sie sich in endlich viele kongruente Polygone zerlegen lassen. - Hilberts drittes Problem
In höheren Dimensionen ist die Zerlegungsgleichheit nicht mehr hinreichend für die Inhaltsgleichheit. - Zur Eckenzahl selbstähnlicher konvexer Polygone
Ein konvexes Polygon, das in zum Ausgangspolygon ähnliche Polygone zerlegt wird, hat maximal fünf Ecken. - Polygonpflasterungen der Ebene
- Beispielklassen selbstähnlicher Polygone
- Perfekt selbstähnliche Dreiecke
- Gleichseitige Dreiecke sind nicht perfekt selbstähnlich
- Perfekte Zerlegung der Ebene in gleichseitige Dreiecke
- Ist nicht möglich, wenn es ein kleinstes Dreieck gibt.
- Ist möglich mit Ausnahme eines Punktes.
- Ist möglich, wenn lokale Häufungen zugelassen sind.
- Disjunkte Pflasterungen
Ein Kuchen kann nicht halbiert werden. - Ergänzende Themen: Selbstähnliche Drei-, Vier- und Fünfecke
Literatur
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- M. Aigner, G. M. Ziegler: Das Buch der Beweise, Springer, zweite Auflage. Bibliothek Helmholtzstraße, QA 37, 2004. (3)
- E. Buchman: The impossibility of tiling a convex region with unequal equilateral triangles, American Mathematical Monthly, 88 (1981), 748-753. Bibliothek Helmholtzstraße, Keller: 2539. (7)
- E. Hertel: Zur Affingeometrie konvexer Polygone. Jenaer Schriften zur Mathematik und Informatik, Math/Inf/00/22, 26 pp. www.minet.uni-jena.de/Math-Net/reports/shadows//00-09report.html (2000) (preprint) (4)
- E. Hertel, C. Richter: Self-affine convex polygons, Journal of Geometry, 98 (2010), doi.org/10.1007/s00022-010-0054-y (4)
- H. Kaiser: Perfekte Dreieckzerlegungen, Elemente der Mathematik, 46 (1991), 106-111, https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=edm-001:1991:46::112 (7)
- B. Klaaßen: Infinite perfekte Dreieckszerlegungen auch für gleichseitige Dreiecke, Elemente der Mathematik, 50 (1995), 116-121, https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=edm-001:1995:50::122 (9b)
- J.-W. Liebezeit: Vorlesungsskript Einführung in die Diskrete Geometrie, (1)-(5), (10), (11)
- C. Richter: Families of irreptiles, Elemente der Mathematik, 64 (2009), 109-121, Link (5), (6)
- C. Richter: Tiling by incongruent equilateral triangles without requiring local finiteness, Elemente der Mathematik, 67 (2012), 157-163, Link (9c)
- K. Scherer: The impossibility of a tesselation of the plane into equilateral triangles whose sidelengths are mutually different, one of them being minimal, Elemente der Mathematik, 38 (1983), 1-32, https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=edm-001:1983:38::11 (9a)
- S. L. Snover, C. Waiveris, J. K. Williams: Rep-tiling for triangles, Discrete Mathematics, 91 (1991), 193-200, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9190110N/pdf?md5=e0f570788493407d2bdc4050a0964458&pid=1-s2.0-0012365X9190110N-main.pdf (11)
- Z. Tuza: Dissections into equilateral triangles, Elemente der Mathematik, 46 (1991), 153-180, www.e-periodica.ch/digbib/view
- E. K. van Douwen: Indivisibility of balls in Euclidean n-space, Topology and its Applications, 51 (1993), 183-185, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/016686419390150C (10)
- S. Wagon: Partitioning intervalls, spheres and balls into congruent piece, Canadian Mathematical Bulletin, 26 (1983), 337-340, doi.org/10.4153/CMB-1983-056-8 (10)