Wann ist eine Untergruppe N<G von G ein Normalteiler in G?

Es gibt sehr einfache Kriterien, die man prüfen sollte:

• G ist eine abelsche Gruppe
• N hat Index 2
• N ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus (der etwa in einer anderen Teilaufgabe vorkommt, oder den man sowieso kennt)

in den drei Fällen ist dann N eine Untergruppe. Ansonsten muss man sich aber auf die Definition stürzen? Dazu müsste man nachweisen, dass 

ghg^{-1} in N liegt

für alle g in G und alle h in N. Es ist aber in der Tat so, dass es reicht zu zeigen, dass dies für alle

• g und h aus einem festen Erzeugendensystem für G bzw. N stimmt. Dazu muss aber G eine endliche Gruppe sein (dies ist in den meisten Fällen bei uns so!).
• h aus einem festen Erzeugendensystem als Gruppe für N und g aus einem festen Erzeugendensystem von G als Monoid stimmt (mit anderen Worten muss man dies für g aus einem festen Erzeugendensystem von G als Gruppe und für alle g mit g^{-1} ist in eben diesem Erzeugendensystem zeigen).

Der zweite Punkt scheint etwas unschön zu sein. Aber leider kann dies vorkommen, dass es nicht reicht g aus einem Erzeugendensystem (als Gruppe!) von G laufen zu lassen. 

Dennoch bringt dies Vorteile, weil man nicht alle Elemente von G, oder N durchlaufen muss. Das wäre viel mehr Arbeit und man muss viel mehr aufpassen und die Gruppe viel genauer kennen, als es mit diesen Kriterien zu berechnen.

Es sei außerdem darauf hingewiesen, dass man für die Diedergruppen bereits alle Normalteiler kennen. Für andere Gruppen wie etwa die symmetrischen Gruppen gibt es andere Methoden, um die Normalteiler-Eigenschaften zu prüfen.

Die abc-Vermutung ist eine der wichtigsten diophantischen Probleme (Untersuchung der Nullstellenmenge von Polynomgleichungen über den ganzen Zahlen). Dieses macht eine Aussage über die Größe der Lösungen der Gleichung

a+b=c.

Seien dazu a,b,c teilerfremd. Weiter sei rad(abc) das Produkt aller Primfaktoren von a,b, und c (aber jede Primzahl nur einfach, sonst würde ja wieder abc rauskommen!). Die abc-Vermutung sagt nun, dass es für jedes e>0 nur endlich viele Tripel (a,b,c) gibt, die obige Gleichung erfüllen, teilerfremd sind und für die gilt:

c>rad(abc)1+e

Dies mag eine unscheinbare Vermutung sein. Diese impliziert aber viele andere Vermutungen der Mathematik, vereinfacht Beweise wie den Beweis des letzten Satz von Fermat, und gibt für rein theoretische Aussagen wie den Satz von Faltings-Mordell eine explizite Schranke ... (siehe dazu und zu weiteren Beispielen obigen Link)

Der Mathematiker Shinichi Mochizuki hat dazu im August den letzten Teil des Beweisversuchs veröffentlicht. Ich kann dazu keine großen Worte verlieren, weil dies weit über meinem Verständnis liegt. Aber hier ein paar Auszüge zu Kommentaren von anderen Mathematikern dazu, welche andeuten, wie schwierig dieser Beweis zu verstehen ist (und wie lange es vermutlich noch dauert, bis er analysiert und überprüft wurde):

"I would place Mochizuki's work in this anabelian corner of number theory; I have always kept a safe and respectful distance from this corner." von Timothy Gowers (Gewinner der Fields-Medaille) in mathoverflow. 

"You can't always solve a mathematical problem by reducing it to something you've already solved. Sometimes, you need to invent an entirely new field of mathematics. Last month, Shinichi Mochizuki of Kyoto University in Japan announced that a new field he's been developing for several years—which he calls Inter-universal Teichmüller theory—has proved a famous conjecture in number theory known as the "abc conjecture."" Science.

"Kim, who is one of the world's few experts in anabelian geometry, admits even he has his work cut out for him in mastering Mochizuki's new techniques. "There is no one but the author who is familiar with all these things," he writes. "I can't even give an expert summary of the proof because I don't understand it!"" gleicher Artikel im Science.

Man merkt sehr schnell, dass Shinichi Mochizuki ein eher unkonventioneller Typ von Mathematiker ist. Dies merkt man an z.B. am Aufbau seiner Artikel, seinen Namensgebungen wie "Θ±ellNF-Hodge theater", und seinen Erklärungen zu seiner Beweisidee auf seiner ungewöhnlichen Hompage:

"Within each classical arithmetic geometry theater, one has a theta function; it is this theta function that plays the role of “Frobenioid-theoretic” (i.e., non-scheme-theoretic! — cf. Frobenioids I, II; ´Etale Theta) “bridge” to the “next universe”. In the “Sokkuri animation”, this link furnished by the theta function corresponds to the gaze of the little girl into the “small house” Indeed, the large eyes of the little girl look somewhat like thetas Θ!"(siehe hier für weitere Beispiele und hier für die “Sokkuri animation”).

Unter den Millennium-Problemen - einer Liste bedeutender mathematischer Probleme auf die ein Preisgeld von 1Mio. US$ ausgelobt wurde - finden sich auch zwei algebraische Probleme (die Riemannsche Vermutung könnte man auch dazu zählen, ist aber thematisch stärker in anderen Bereichen der Mathematik verhaftet). Das eine ist die 

Hodge-Vermutung

und das andere ist die

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.

Die Algebra ist eine sehr reichhaltige, alte, und aktive Disziplin mit erstaunlich viel Querverbindungen in andere Gebiete hinein.

So hat zum Beispiel die Symmetrie von Molekülen und Kristallen (hier ist etwa die Klassifikation aller Symmetriegruppen für Kristalle 1891 gelungen) eine direkte physikalische und chemische Bedeutung (z.B. für elektrische Dipolmomente).

Methoden der Algebra haben auch andere Gebiete der Mathematik geprägt. So ist etwa die algebraische Topologie das Studium topologischer Räume mit algebraischen Methoden. Aber auch die Analysis (z.B. in der Theorie der Banachalgebren) bedient sich häufig algebraischer Methoden und Begriffe.

Neuere Verbindungen sind etwa die Algebraische Statistik (hier werden statistische Modelle mit modernen algebraischen Methoden behandelt) und deren Anwendung im Maschinellen Lernen. 

Aus all diesen Vermischungen sticht eine besonders heraus. Dies ist die Verbindung mit der Geometrie. Wir erwähnen hier nur die momentane Paradedisziplin der Algebra, dies ist die Algebraische Geometrie. Dies ist grob die geometrische Untersuchung von Nullstellenmengen algebraischer Gleichungssysteme. Es sei aber noch darauf hingewiesen, dass es eine Vielzahl von Verquickungen der Geometrie mit der Algebra gibt (reell algebraische, tropische, nicht-kommutative, rigide Geometrie, ...).

Des Weiteren hat man hier die schon fast klassischen Anwendungen der Algebra zu nennen: Kodierung (Automatische Korrektur von Übertragungsfehlern) und Kryptographie (Sicheres Übertragen von Information über einen unsicheren Kanal)

Diese Vorlesung soll Sie mit der algebraischen Denkweise vertraut machen und einige wenige aber wichtige Grundbegriffe bereitstellen. 

Es gibt in der Mathematik viele Methoden und Ansätze zur Lösung neuer Probleme. Die Herangehensweise der Algebra an Probleme unterscheidet sich dabei deutlich von denen anderer Gebiete. Dies bereitet manchmal einige Anfangsschwierigkeiten. Deshalb soll diese Vorlesungen Ihnen einen weichen Übergang zur algebraischen Methodik vermitteln. Dem entsprechend behandeln wir in dieser Vorlesung auch nur relativ wenig Stoff.

Wir können hier grob drei Themengebiete unterscheiden, in welche wir hinein schnuppern.

Zum einen ist dies die Gruppentheorie. Gruppen haben Sie bereits in der Linearen Algebra kennen gelernt. Hier wollen wir die Definitionen wiederholen und an Beispielen die Theorie diskutieren. Weil wir nicht sehr viel Theorie dazu behandeln können, werden wir uns auf die einfachsten Anwendungen konzentrieren. Dies ist die Untersuchung von Symmetrien geometrischer Objekte.

Das zweite Themengebiet sind Ringe. Wir werden die wichtigsten Verfahren kennenlernen Ringe zu konstruieren und etwas Grundwissen dazu bereitstellen. Die Ringe spielen die tragende Rolle in der Algebra. Dies führt aber wieder zu weit. Wichtig ist an dieser Stelle diese grundlegenden Begriffe verstanden und ein gewisses Gefühl für diese zu gewinnen. Aus Sicht der Vorlesung benötigen wir diese als Zwischenschritt für die Konstruktion von Körpern.

Körper stellen den dritten großen Teil dieser Vorlesung dar. Dieser behandelt den von ihnen bereits bekannten Begriff der Körper von einer anderen Sicht. Mit Hilfe der Ringtheorie sind wir in der Lage verschiedene Körper zu konstruieren und zu untersuchen. Von Interesse sind dabei für die Anwendung in der Kodierung und Kryptographie die endlichen Körper. Am Ende dieses Semesters sollten Sie in der Lage sein etwas in endlichen Körpern rechnen zu können. Zentrale Rolle spielt auch die Unterscheidung von transzendenten und algebraischen Zahlen. Wenn Zeit bleibt, dann ist eine schöne (und etwas magisch anmutende) Anwendung, welche wir mit diesem wenigen Wissen behandeln können, die Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Wenn dafür Zeit bleibt, dann können wir also beantworten, warum man mit Zirkel und Lineal etwa einen beliebigen Winkel halbieren, aber nicht dritteln kann.

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