Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind überall: In Analysis I, beim Studium von Kurven, Flächen und anderen Untermannigfaltigkeiten, in der allgemeinen Relativitätstheorie oder im Beweis der Poincaré-Vermutung. In dieser Vorlesung werden wir systematisch das grundlegende Prinzip dahinter studieren - sie gibt einen Einblick in die Grundlagen der Theorie Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Nach einer kurzen Wiederholung des Mannigfaltigkeitsbegriffes und der begleitenden Objekte wie etwa Tangentialraum, Einbettungen und Immersionen, Vektorfelder und Orientierung werden wir uns mit speziellen Mannigfaltigkeiten befassen, welche eine Riemannsche Metrik besitzen. Wir werden feststellen wie sich zahlreiche Prinzipien des linearen Euklidischen Raumes auf diese Situation verallgemeinern lassen. Dazu werden wir den Levi-Civita-Zusammenhang einführen und damit die verschiedenen Krümmungsbegriffe definieren. Wir werden sehen, wie sich der Begriff von (nichtgekrümmten) Strecken zu Geodätischen verallgemeinern lässt und auch die Krümmung höherdimensionale Untermannigfaltigkeiten in Relation zum umgebenden Raum untersuchen ("theorema egregium"). Falls es die Zeit erlaubt, werden wir zum Schluss auch zentrale Theoreme ansprechen oder beweisen, etwa das Zusammenfallen von topologischer und geodätischer Vollständigkeit (Hopf-Rinow), Klassifikation von Räumen konstanter Krümmung oder der Satz von Bonnet-Myers, der eine Relation vom lokalen Krümmungsbegriff zu einer globalen Aussage über die Topologie einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gibt.