Abgabe: Montag 12 Uhr vor der Übung.

Turnus der Übung: Wöchentlich je 1h.

• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt1.pdf download>Blatt 1 (Abgabe 22.10.2012)
  
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt2.pdf download>Blatt 2 (Abgabe 29.10.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt3.pdf download>Blatt 3 (Abgabe 5.11.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt4.pdf download>Blatt 4 (Abgabe 12.11.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt5.pdf download>Blatt 5 (Abgabe 19.11.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt6.pdf download>Blatt 6 (Abgabe 26.11.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt7.pdf download>Blatt 7 (Abgabe 3.12.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt8.pdf download>Blatt 8 (Abgabe 10.12.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt9.pdf download>Blatt 9 (Abgabe 17.12.2012)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt10.pdf download>Blatt 10 (Abgabe 7.1.2013)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt11.pdf download>Blatt 11 (Abgabe 14.1.2013)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt12.pdf download>Blatt 12 (Abgabe 21.1.2013)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt13.pdf download>Blatt 13 (Abgabe 28.1.2013)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra blatt14.pdf download>Blatt 14 (Abgabe 4.2.2013)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra probeklausur.pdf download>Blatt 15 (Bonusblatt - Abgabe 11.2.2013 nur für Teilnehmer, die die Punkte noch nicht erreicht haben)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra burnsideaufgaben.pdf download>zusätzliche Aufgaben zu Burnside auf Nachfrage (sehr schnell erstellt, also fehleranfällig)
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra bonusaufgaben.pdf download>Eine Sammlung aller Bonusaufgaben.
• <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ws13 elementederalgebra wichtigeaufgaben.pdf download>Sammlung aller für die Klausur sehr wichtigen Übungsaufgaben (andere Aufgaben können aber auch von Bedeutung sein!)

Zusatzmaterial

Informationen zur Klausur

Die Lösungen für die regulären Aufgaben werden in der Übung vorgestellt. In der Regel werden die Bonusaufgaben nicht in der Übung vorgestellt (siehe auch unten). Nutzen Sie die Übung um Fragen zu stellen!

Zu den Bonusaufgaben wird es immer geTeXte Lösungen geben. Diese findet man unter den "Gemeinsamen Dokumenten" in der E-Mail-Liste. Zu regulären Aufgaben wird es manchmal Lösungen geben. Diese werden mit den Lösungen zur Bonusaufgabe in einem gemeinsamen Dokument verfügbar sein. Sie können sich aber nicht darauf verlassen, dass es zu allen regulären Übungsaufgaben auch Lösungen geben wird. Außerdem wird in der Lösung vieles zu kurz, lückenhaft, oder zu ausführlich dargestellt (Je nach Lust und Laune).

• Bonusaufgaben sind Aufgaben auf höherem Niveau.
• Bonusaufgaben sind für interessierte Studenten gedacht, denen das Niveau der anderen Aufgaben zu niedrig ist.
• Wir können relativ flexibel nach dem Wunsch der Teilnehmer den Inhalt der Bonusaufgaben anpassen (E-Mail, oder anonymes Feedback).
• Sollten die Bonusaufgaben auf wenig Resonanz stoßen (eine Person reicht aber schon), werden wir wieder darauf verzichten. Sollten Sie die Aufgaben nur nicht (aus welchen Gründen auch immer) abgeben wollen, sind aber sonst an den Bonusaufgaben interessiert, so lassen Sie uns das über das "Anonyme Feedback" wissen!
• Bonusaufgaben müssen getrennt von den anderen Aufgaben abgegeben werden!
• Die Punkte für die Bonusaufgaben finden sich für Blatt x im SLC unter Blatt 100+x.
• Bonusaufgaben werden nicht zur Berechnung der Punktehürde benutzt (auf einem Blatt werden das ca. 10 Punkte sein).
• Bonusaufgaben können Ihnen bei der Erreichung der Punktehürde helfen (verglichen mit dem Aufwand geben Bonusaufgaben weniger Punkte als reguläre Aufgaben - werden dafür aber auch weniger streng korrigiert. Allein das zeigen von Verständnis für das Problem bringt Punkte).
• Die Lösungen werden nicht in der Übung vorgestellt, sondern (eventuell mit Zeitverzug) über die E-Mail-Liste unter den "Gemeinsamen Dokumenten" erreichbar sein.
• Bonusaufgaben sollen Spaß machen.

Aktuelle Vorschläge für die Bonusaufgaben sind wie folgt (Das sind Vorschläge, die sich nach dem Interesse der Teilnehmer noch ändern lassen und sich wahrscheinlich im Laufe der Vorlesung noch ändern):

• Blatt 1: Die Fundamentalgruppe - Definition
• Blatt 2: Die p-adische Zahlen Ia - Definition
• Blatt 3: Die Fundamentalgruppe II - Berechnungen
• Blatt 4: Die p-adische Zahlen Ib - Definition
• Blatt 5: Die freie abelsche Gruppe
• Blatt 6: Diskrete Untergruppen der Bewegungsgruppe
• Blatt 7: Die Fundamentalgruppe III - Die Abhängigkeit vom Basispunkt
• Blatt 8: Die Beträge auf den rationalen Zahlen (p-adische Zahlen II)
• Blatt 9: Der Kokern und seine universelle Eigenschaft - eine Verallgemeinerung der Faktorgruppe
• Blatt 10: Der erste der Sylowschen Sätze
• Blatt 11: Fundamentalgruppe IV - Monodromie
• Blatt 12: Beträge auf Polynomen und das Lemma von Gauß (p-adische Zahlen III)
• Blatt 13: Nullteilerfreie endlichdimensionale Algebren
• Blatt 14: Aus Zeitmangel konnte keine Bonusaufgabe erstellt werden. Geplant war: Das Berkovich-Spektrum (p-adische Zahlen IV) und das Primspektrum

Die Aufgaben lassen sich einordnen in

• Algebraische Topologie: Die Fundamentalgruppe gehört in die Algebraische Topologie. Darin versucht man Information über einen topologischen Raum mit Hilfe von algebraischen Methoden zu finden.
• Nicht-archimedische Analysis: Die p-adischen Zahlen gehören in die nicht-archimedische Analysis. Dort versucht man die Analysis nachzubauen, um Informationen über algebraische Gleichungssysteme zu erhalten. Es gibt verschiedene Auswüchse dieser Idee (z.B. Rigide Geometrie, Berkovich Räume).
• Universelle Eigenschaften: Die Aufgaben zur freien abelschen Gruppe, zum Kokern gehören zum Gebiet der universellen Eigenschaften. Bei dem ersten Beispiel soll dies nur eine Einführung sein. Universelle Eigenschaften spielen eine tragende Rolle in der Algebra. Es ist gut, wenn man sich möglichst früh daran gewöhnt (diese sind auch etwas gewöhnungsbedürftig).
• Schöne Aussagen: Die anderen Aufgaben kann man am besten so umschreiben: Interessante Resultate mit eleganten und machbaren Beweisen. "Interessant" und "elegant" sind natürlich sehr subjektive Begriffe. Deshalb einfach Feedback geben!

Andere Themen, die man auch behandeln könnte (mir fallen aber momentan keine einfachen Einführungen dazu ein, oder ich halte die Dinge für nicht so sinnvoll für die Ausrichtung der Algebra in dieser Uni):

• Algebraische Geometrie: Während die nicht-archimedische Analysis versucht eine Geometrie mittels der Untersuchung von Ringen mit Betrag aufzubauen, gelingt dies der algebraischen Geometrie ganz ohne Beträge. 
• Reelle algebraische Geometrie: Die reelle algebraische Geometrie untersucht nicht Ringe mit Beträgen, sondern Ringe mit Ordnung. In diese Richtung gibt es bedeutende Ergebnisse von Nash und etwa das Ergebnis von Artin: Die Lösung des 17. Hilberschen Problems.
• Tropische Geometrie: Es gibt viele äquivalente Zugänge zur tropischen Geometrie. Etwa als "Skelett" algebraischer Gleichungssysteme, oder als Untersuchung der Geometrie (analog zur algebraischen Geometrie) des "tropischen Semirings".
• nicht-kommutative algebraische Geometrie: Dies liegt momentan weit außerhalb dessen, was man behandeln kann. Wenn man die Kommutativität in der Definition eines Ringes (oder sogar die Existenz der Eins) fallen lässt, dann kann man auch noch Geometrie betreiben. Dies ist aber ungleich schwerer.
• Inter-universelle Geometrie: Mochizuki behauptet, dass man jeder Kategorie eine Geometrie zuweisen kann. Dazu kann ich nicht mehr sagen, weil mir das Verständnis und die Quellen dafür fehlen.

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