Compressed Sensing

Inhalt

Vor einigen Jahren entstand ein vielversprechendes Gebiet der Informationsverarbeitung, das sogenannte Compressed Sensing, welches einen alternativen Ansatz zur konventionellen Bildaufnahme und Kompression ermöglichte. Dieses Gebiet ist auch unter dem Namen Compressive Sampling bekannt geworden, da es unter bestimmten Voraussetzungen eine verlustfreie Signalabtastung mit Abtastraten weit unter der Nyquist-Grenze erlaubt, was erhebliche Gewinne bei der Erfassung und Kornpression von Information bringt. Allerdings ist die Signalrekonstruktion aufwändiger als bei der klassischer Abtastung. Statt mit einfachen Techniken wie z. B. Tiefpassfilterung, wird bei Cornpressed Sensing die Signalrekonstruktion mittels Optimierungsmethoden bezüglich der sogenannten L1-Metrik durchgeführt. Der Einsatz von solchen Optimierungsmethoden hat sich inzwischen explosionsartig in den unterschiedlichsten Bereichen der Informationsverarbeitung ausgebreitet. Beispielsweise existieren zur Aufnahme und gleichzeitigen Kompression von zwei-und dreidimensionalen Bildern allgemein, seien sie mit Licht, Radar oder anderen Wellen aufgenommen, bereits zahlreiche theoretische und praktische Ergebnisse. Auch in anderen Gebieten wie z. B. bei .der Analyse sogenannter DNA-Microarrays, die eine parallele Analyse von in geringer Menge vorliegendem biologischen Probenmaterial erlaubt, ist die Anwendung von Methoden des Compressed Sensing schon vorgeschlagen worden.

Leider sind die Grundlagen des Compressed Sensing nicht leicht aus der wissenschaftlichen Literatur zu ersehen. Hier mischen sich verschiedene Aspekte und spezifische Sprachen unterschiedlichster mathematischer Gebiete, wie etwa hochdimensionale Geometrie der Euklidischen-und Banach-Räume, Zufallsmatrizen, lineare und konvexe Optimierung, harmonische Analyse, und Kombinatorik. Diese äußerst anspruchsvolle Betrachtungsweise von Compressed Sensing wird in dieser Vorlesung möglichst einfach, anschaulich und anwendungsorientiert für Ingenieure aufbereitet. Das zugrundeliegende Prinzip des neuen Forschungsgebietes die Suche (mittels Optimierungsmethoden) nach spezifischen Lösungen von unvollständigen (unterbestimmten) linearen Gleichungssystemen wird systematisch erklärt. Beim Einsatz dieser linearen Optimierungsmethoden im Bereich der Kanalcodierung wurden kürzlich überraschend gute Ergebnisse berichtet. Diese Ergebnisse sowie die Perspektiven des Ansatzes werden in der Vorlesung ebenfalls diskutiert.

Themen

Die wichtigsten Themen der Vorlesung umfassen:

Grundlagen der mehrdimensionalen Euklidischen Geometrie: lineare Räume und Polytope
Rekapitulation der notwendigen Begriffe aus der linearen Algebra
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen
Grundzüge der Funktionalanalysis: Algebraische Strukturen, Lineare Operatoren, Normierte Räume, Banachräume, Innerprodukträume, Funktion-und Integraltransformationen
Rekapitulation der Fourier-Analyse und anderen anwendungswichtigen Integraltransformationen
Shannon-Nyquist Abtaststheorem
Allgemeine Abtastung von wert-und zeitkontinuierlichen Signalen
Compressed Sensing -effiziente Erfassung von wert-und zeitkontinuierlichen (Abtastung mit Kompression) oder zeitdiskreten (nur Kompression) Signalen
Einfache Erklärung der Prinzipien von Compressed Sensing mittels Begriffen der mehrdimensionalen Euklidischen Geometrie
Theoretische Grenzen von Compressed Sensing
Robustheit von Compressed Sensing
Rekapitulation der Optimierungsmethoden lineare und konvexe Programmierung
Arten der Rekonstruktion-Algorithmen mit Optimierungsmethoden in Compressed Sensing
Praktischer Einsatz von Compressed Sensing in Analog/Digital Wandlern
Praktischer Einsatz von Compressed Sensing in der Bildverarbeitung (Ein-Pixel-Kamera)
Einsatz von Compressed Sensing in der Kanalcodierung
Compressed Sensing bei DNA-Mikro-Arrays für biologische Experimente
Perspektiven von Compressed Sensing: Verbindung mit Kolmogorovs Superposition Theorem
Grundlage für effiziente Erfassung von wert-und zeitkontinuierlichen Signalen mit mehr als drei Argumenten

Es existiert bis dato noch kein einführendes Lehrbuch oder Skript zum Thema Compressed Sensing. Daher werden, neben den Vorlesungsfolien, Überblicksartikel empfohlen:

Hauptliteratur

Understanding and using linear programming / Jiří Matoušek und Bernd Gärtner / Springer Verlag
Mathematik / Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger und Hellmuth Stachel / Spektrum Akademischer Verlag
Website über Compressed Sensing
IEEE Signal Processing Magazine (Special Issue on Compressive Sampling), March 2008.
M.A. Davenport, M.F. Duarte, Y.C. Eldar, and G. Kutyniok, "Introduction to Compressed Sensing," in Compressed Sensing: Theory and Applications, Cambridge University Press, 2012.