Elemente der Topologie (SS 2020)

Aufgrund der COVID-19 Pandemie wird diese Veranstaltung im Sommersemester 2020 als Online-Kurs durchgeführt.

Die Organisation der Veranstaltung, die regelmäßige Bereitstellung des Lernmaterials und die Durchführung der dazugehörigen Betreuungsangebote erfolgt über einen Moodle-Kurs.  Melden Sie sich also bitte bereits vor Beginn der Vorlesung beim Moodle-Kurs an!

Ziel dieser Vorlesung ist zunächst ein grundlegendes Studium der axiomatischen mengenbasierten Topologie. Der axiomatische Zugang ermöglicht es, Beweise sehr klar zu führen. Die erlernten Konzepte sind dabei in vielen Bereichen der Mathematik hilfreich und ermöglichen oft ein vertieftes Verständnis. Topologie wird als ein fundamentales Werkzeug unter anderem in Algebra, Graphentheorie, Knotentheorie, Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis und Funktionalanalysis gebraucht.

Motivierende Fragestellungen: Was haben die reellen Zahlen, die Ebene, die Einheitskreislinie in der Ebene oder reelle Intervalle wie [0,1) oder [0,1] mit einander zu tun? In welchem Sinn sind diese mit einer örtlichen Struktur versehenen Objekte gleich, verwandt oder völlig unterschiedlich? In welchem Sinn sind ein Donut und eine Henkeltasse gleich? Was ist stetige Deformation?

In der Vorlesung werden unter anderem behandelt:

• Topologische Räume
• Konvergenz und Netze
• Stetigkeit
• Konstruktion und Vergleich von Topologien
• Trennungseigenschaften und Metrisierbarkeit
• Kompaktheit
• Zusammenhang
• Homöomorphismen und topologische Invarianten
• Homotopie und Fundamentalgruppe

In jedem Fall ist eine vertiefte Behandlung des Kompaktheitsbegriffs und des Satzes von Tychonoff vorgesehen. Abhängig von den Interessen der Teilnehmer*innen sind beispielsweise auch folgende weitere Themen möglich: topologische Dimensionsbegriffe, topologische Gruppen/Vektorräume/uniforme Strukturen, Beispiele verschiedenartiger pathologischer topologischer Räume/„Monster“, Ordinalzahlen oder der Jordansche Kurvensatz.

• Munkres, Topology: a first course, Pearson, 2000.
• Steen, Seebach: Counterexamples in Topology, 1978.
• Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, Springer, 2001.
• Volker Runde, A taste of topology, Springer, 2008.