Blatt 1

Eine Visualisierung zu Aufgabe 3 findet sich <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ss12 riemann ani trigonometriesin.gif download>hier und <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.100 vorlesungen ss12 riemann ani trigonometrie.gif download>hier

Mein neuer Liebling der topologischen Räume

Ich habe einen neuen Lieblingsraum in der Topologie gefunden. Das beste Gegenbeispiel aller Zeiten :-)

Die lange Gerade.

Auch, wenn wir nicht alle Begriffe aus dieser Liste definiert haben. So ist dies doch eine Erwähnung wert.
Ein Auszug aus den Eigenschaften der langen Geraden X:

• X ist zusammenhängend, wegzusammenhängend, lokal homöomorph zu den reellen Zahlen, aber hat keine abzählbare Basis.
• X ist nicht parakompakt.
• X hat unendlich viele glatte Strukturen, genauer gibt es zu jeder "k-mal stetig differenzierbaren" Strukur unendlich viele glatte Strukturen (Bei Mannigfaltigkeiten gibt es da genau eine!).
• Zu jeder glatten Struktur gibt es unendlich viele analytische Strukturen.
• X ist nicht metrisierbar, und damit ist das Kreuzprodukt aus X und der reellen Geraden keine Riemannsche Fläche, aber eine analytische Mannigfaltigkeit.
• ...

Triangulierung kompakter Mannigfaltigkeiten

• Eine topologische kompakte Mannigfaltigkeit in Dimension 1,2 und 3 lässt sich triangulieren (Für Dimension 2 wurde dies in der Vorlesung skizziert).
• Man findet eine Mannigfaltigkeit (z.B. E8) der Dimension 4, welche nicht triangulierbar ist.
• Für die Dimension >4 ist die Frage bis heute offen. Einige Teilresultate sind aber erbracht.
• Eine weitere interessante Frage ist die Hauptvermutung (auch in englischsprachiger Literatur so genannt). Diese stellt die Frage, ob je zwei Triangulierungen zu eine gemeinsame Verfeinerung besitzen. Dies ist im Falle der Dimension 2 in der Vorlesung benutzt worden. 
• Die Hauptvermutung ist für Dimension 2 und 3 richtig.
• Die Hauptvermutung ab Dimension 4 ist schon wieder falsch.
• Mit anderen Worten gelten viele unserer Resultate in der Vorlesung nicht in höheren Dimensionen. Dies gibt uns einen neuen Blick (die Resultate sind also nicht ganz selbstverständlich).