Praktikum Computeralgebra

Praktikum findet statt!

Die Lehrveranstaltungen des Instituts für Reine Mathematik finden im Sommersemester 2020 alle statt. Die Form wird den aktuellen Gegebenheiten angepasst.

Bitte melden Sie sich in Moodle an, um die aktuellen Informationen zu erhalten.

Grundinformationen zum Praktikum

Inhalt im Überblick

Die Computeralgebra ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit algebraischen Berechnungen befasst. Solche Berechnungen können auf der theoretischen Ebene betrachtet werden, aber man kann auch versuchen, sie effizient in computer-algebraischen Systemen (CAS) durchzuführen. Die explizite Betrachtung der abstrakten algebraischen Themen ergänzt sie und trägt oft beträchtlich zu ihrem Verständnis bei.

In diesem Praktikum besprechen wir die computer-algebraischen Aspekte der Galoistheorie, die die Nullstellen polynomieller Gleichungen studiert. Diese Theorie beweist unter anderem, dass die meisten solcher Gleichungen vom Grad mindestens 5 keine Lösung haben, die sich in Wurzeln ausdrücken lässt. Bis Grad 4 gibt es noch so eine Formel: Im Grad 4 heißt diese Formel, die Sie rechts unten sehen können, die Cardano-Formel. Die Galoistheorie erklärt mittels der sogenannten Galoisgruppe, warum es so eine Formel im Allgemeinen nicht gibt, und zeigt, wie man komplizierte Gleichungen noch immer studieren kann. Diese Galoistheorie hat somit zur Geburt der Gruppentheorie geführt: Genauer gesagt ist die Galoisgruppe die Gruppe, die von bestimmten Permutationen der Wurzeln der gegebenen polynomiellen Gleichung gebildet wird.

Das Praktikum fängt an mit einer Einführung in die Galoistheorie in Vorlesungsform. Diese erste Hälfte schließt ab mit einer gemeinsamen Einführung in das offenbar verfügbare freie Computeralgebrasystem SageMath, in seiner Online-Form CoCalc. Sie werden lernen, mit diesem System zu arbeiten und Ihre eigene Programme darin zu schreiben. SageMath ist ein System mit breiter Orientierung und lässt sich in vielen Bereichen außerhalb der Galoistheorie (und auch außerhalb der Algebra) einsetzen.

In der zweiten Hälfte des Praktikums arbeit Sie in kleineren Gruppen in CoCalc an Einzelthemen, wie zum Beispiel:

  • Die Herleitung der Cardano-Formel und allgemeinerer Formeln;
  • Die effiziente Bestimmung von Galoisgruppen mit Resolventen oder Reduktion;
  • Statistiken zur Frequenz von Galoisgruppen (Tschebotarjowscher Dichtigkeitssatz);
  • Erweiterungen rationaler Funktionskörper und Beziehungen mit Geometrie.

Zielgruppe

Das Seminar richtet sich an alle Studierende der mathematischen Studiengänge. Die Anzahl Teilnehmer ist auf 12 beschränkt.

Voraussetzungen

  • Elemente der Algebra oder Algebra

Anmeldung

Per E-Mail an Jeroen Sijsling, mit Angabe von

  • Name, Matrikelnummer, Studiengang, Fachsemester
  • Liste aller bisher gehörten mathematischen Vorlesungen

Ablauf

Die aktuelle Lage angesichts COVID-19 stellt uns vor besonderen Herausforderungen. Das Betrieb der Vorlesung wird online stattfinden. Wiewohl dies ganz anders als gewöhnlich ist, kann Ihre Teilnahme genauso sinnvoll und erfolgreich sein wie auch sonst, wenn nicht mehr.

Es ist in dieser Hinsicht am wichtigsten, dass sie aktiv und kommunikativ an der Vorlesung teilnehmen. Glücklicherweise ist dies auch online möglich. Man wird Ihnen hierzu die benötigten Werkzeuge und Hinweise geben, und halte Sie auf dem Laufenden. Umgekehrt können Sie und all ihre Fragen und Bemerkungen mitteilen. Machen Sie dies aktiv, so haben Sie wegen des neuen Format mehr Möglichkeiten als je zuvor, um die Vorlesung auch selbst teilweise zu gestalten. Die Änderungen kommen somit mit großen Chancen.

In der ersten Hälfte wird ein Skript bereitgestellt, das Sie durchlesen können. Jede Woche hören Sie, was das Thema ist, und bis wo wir weiterlesen. Nach diesem Lesen können Sie im Diskussionsforum (oder vielleicht in einem Online-Sprechstunde) ihre wichtigsten Fragen stellen und sagen, zu welchen Einzelheiten Sie gerne mehr hören möchten. Diese Fragen werden im Diskussionsforum beantworten. Ansonsten werden sehr wahrscheinlich erläuternden und ergänzenden Videos hochgeladen. Bei der Gestaltung dieser Videos spiele ihre Rückmeldungen eine wesentliche Rolle.

In der zweiten Hälfte wird es die Möglichkeit geben, auf CoCalc in Gruppen zu diskutieren. So können Sie diese Arbeit genauso interaktiv gestalten wie sonst.

Mehr Informationen finden Sie auf der Moodle-Seite des Kurses.

Betreuung

Virtuelle Lehrveranstaltung

  • Termine und aktuelle Informationen finden Sie in Moodle.
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  • Das Vorlesungsskript finden Sie in Moodle.