Elementare Differentialgeometrie, Vorlesung im Sommersemester 2018

Aktuelles

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Inhalt

Geometrie bezeichnet - wörtlich -  das Studium von Figuren. Die Differenzialgeometrie benutzt für dieses Studium Methoden der Analysis. 

Kartographen wissen seit langer Zeit, dass man Landkarten nicht verzerrungsfrei zeichnen kann. Das liegt daran, dass unsere Erdoberfläche eine Sphäre ist, jeder Zeichenblock aber eine Ebene. 

Das, was die Sphäre und die Ebene differenzialgeometrisch unterscheidet ist die Krümmung, ein zentrales Konzept in der Differenzialgeometrie. Für Kurven ist vielleicht recht intuitiv, was Krümmung bedeutet. Flächen hingegen krümmen sich 'verschieden stark' in 'verschiedene Richtungen'. 

Den Begriff 'gekrümmter Raum' hat man vielleicht auch schon im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie gehört, und in der Tat spielt für diese die Differentialgeometrie eine große Rolle. Und auch umgekehrt hat die Erkenntnis, dass wir nicht in einem euklidischen Raum leben, die Differenzialgeometrie nachhaltig beeinflusst. 

Die Relativitätstheorie ist aber keinesfalls die einzige Anwendung der Differenzialgeometrie. Weitere Anwendungen sind zum Beispiel hier: 

Mechanik.  Beschleunigungen in verschiedenen Bezugssystemen. Außerdem: Wie findet man kürzeste Wege auf einer gekrümmten Fläche?

(Euklidische) Geometrie. Auf welchen Flächen gibt es Dreiecke, deren Innenwinkelsumme nicht 180 Grad ist? Warum folgt das Parallelenpostulat nicht aus den anderen euklidischen Axiomen? 

Materialwissenschaften. Wie beschreibt man Plastizität/Elastizität eines Materials? 

Differentialgleichungen. Invariante Mengen dynamischer Systeme sind oftmals durch (oft implizit definierte) Flächen gegeben.  Oft führen qualitative Aussagen über diese Flächen  zu qualitativen Aussagen über das dynamische System. 

Funktionentheorie. Sogenannte Riemann'sche Flächen treten auf, wenn man eine Beschreibung des komplexen Logarithmus oder der komplexen Wurzeln finden will, die holomorph ist (und zwar ohne Ausnahmemenge oder mehrere 'Zweige').

 

Die Veranstaltung kann bei Bedarf auch auf Englisch gehalten werden.

Übungen

Die Übungen weden im Moodle zur Verfügung gestellt. Hier der Link zum Kurs: https://moodle.uni-ulm.de/course/view.php?id=9350.

 


Zielgruppe

Die Vorlesung richtet sich vorwiegend an Studierende der Bachelor-Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Mathematische Biometrie und CSE.

Auch für Studenten anderer Studiengänge kann die Vorlesung sehr interessant sein, sofern sie über die benötigten Vorkenntnisse verfügen. In diesem Fall informieren Sie sich bitte vorab in Ihrer Prüfungsordnung oder bei Ihrem Prüfungsausschuss darüber, ob Sie diese Vorlesung in Ihrem Haupt- oder Nebenfach anrechnen lassen können und wieviele ECTS-Punkte Sie hierfür erhalten.

Benötigte Vorkenntnisse

  • Grundvorlesungen in Mathematik ("Analysis 1, 2" und "Lineare Algebra 1").
  • Alternativ: Grundlagenvorlesungen über Mathematik, die für andere Studiengänge angeboten werden (zum Beispiel "Höhere Mathematik 1-3" für Physiker)

Prüfung

Es wird zwei schriftliche Klausuren geben, die erste am

Mittwoch, den 08. August 2018, 9:30-12 Uhr,

die zweite am

Dienstag, den 25. September 2018, 9:30-12 Uhr.

Der Teilnahmemodus ist "offen", d.h. auch der zweite Termin darf Ihr erster Versuch sein.

Zum Bestehen der Vorleistung ist das Erreichen von 50% der angebotenen Übungspunkte notwendig. 

Literatur

  • Bär, Christian
    Elementare Differentialgeometrie. (German) 
    Second revised and expanded edition. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010.
  • Lee, John M.
    Riemannian manifolds. 
    An introduction to curvature. Graduate Texts in Mathematics, 176 Springer-Verlag, New York, 1997. 
  • Weitere hilfreiche Literatur findet sich im Skript.

Betreuung

Termine

Vorlesung: Dienstag 10-12 Uhr , Helmholtzstraße 18 Raum 220

Übung: Donnerstag 12:30-14 Uhr, Helmholtzstraße 18 Raum 120

Umfang

2+1 SWS, 4 ECTS

Die Pseudosphäre
Der Torus
Die Klein'sche Flasche
Das Möbiusband