Beispiel einer Halbgruppe

Um etwas konkreter zu werden werden wir hier kurz auf ein Beispiel für eine lineare Evolutionsgleichung eingehen, also eine Gleichung der Form

 

Wir wählen hier konkret den Operator A als

 

Dieser ist nicht beschränkt (man beachte, dass man den Definitionsbereich von A als dichte Teilmenge des Raumes der stetigen periodischen Funktionen mit Periode 2π interpretiert). Mit nicht beschränkt meinen wir also, dass

 

gilt. Die Definition der Exponentialfunktion über die Reihe 

 

ist also nicht direkt möglich. Wir müssen einen anderen Zugang zur Exponentialfunktion finden. Dies gipfelt im Satz von Hille-Yosida, welcher in der Vorlesung besprochen wird.

Die lineare homogene Evolutionsgleichung (d.h. die Halbgruppe) zu dem obigen Operator hat folgende Interpretationen in den in der Beschreibung der Vorlesung genannten Anwendungsgebieten:

  • Stochastik bzw. Finanzmathematik: Der Feller-Prozess zu dieser Halbgruppe ist eine Brownsche Bewegung auf einer Kreislinie.
  • Analysis Partielle Differentialgleichungen: Das Randwertproblem zu der Halbgruppe sieht wie folgt aus:

  • Numerik Partieller Differentialgleichungen: Numerisch kann man die Lösung (dies geht in dem Fall natürlich besser!) durch die Finite-Differenzen-Methode lösen. Zudem ist die Konvergenzordnung (=wie schnell das Verfahren konvergiert) gleich der Konsistenzordnung (=wie gut der Operator approximiert wird).
  • Physik: Dies modelliert die Wärmeausbreitung in einem dünnen ausgefüllten isolierten Ring.
  • Biologie: Die Evolutionsgleichung beschreibt zum Beispiel das Verhalten einer Population von Viren, die in einem geschlossenen einfachen Kreislauf gefangen sind.