Themenvorschläge für Abschlussarbeiten

Bachelor

• Über Besicovitch-Mengen
• Minimal surfaces in hyperbolic space
• Existence of minimizers for non-quasiconvex functionals
• An Example of Singularity Formation under Mean Curvature Flow
• Das Pestov-Ionin-Theorem und seine Anwendungen
• Wann ist eine Kurve mit periodischer Krümmungsfunktion geschlossen?
• Abstieg entlang eines Kreisbogens oder gerader Linien? - Ein Problem nach Galileo

Master

• Expressiveness of Neural Networks with Different Depth and Width
• Generalized Elastic Theta Networks
• Non-uniqueness for the 2D incompressible Euler equations with almost integrable vorticity
• Analysis of the Migrating Elastic Flow
• Uniqueness of positive solutions for Cauchy Problems associated with local and nonlocal Diffusion Equations

Bachelor

• Fraktale Dimensionen - Die Hausdorff und Box-Counting Dimension
• On the obstacle problem for a penalized elastic energy
• Wasserstein metrics and minimization of interaction energies
• An uncertainty principle for the short-time Fourier transform
• Schwache Topologie und gleichmäßig konvexe Räume
• The renewal equation: mathematical analysis and biological interpretation
• Der Goldene Schnitt und sein Vorkommen in der Natur

Master

• On the shortening-straightening flow of planar curves with infinite length
• Lord Rayleigh's Conjecture on Riemannian Manifolds
• Von der Zykloide zur Brachistochrone
• Analysis chemischer Reaktionssysteme

Bachelorarbeiten Vorschläge:

• Der Satz von Krein-Milman

Betrachtet man eine beschränkte abgeschlossene konvexe Menge in der Ebene, so sieht man, dass sie die konvexe Hülle ihrerer Extrempunkte ist. Der Satz von Krein-Milman besagt, dass diese Aussage für kompakte konvexe Mengen in lokalkonvexen topologischen Vektorräumen gilt. In der Bachelorarbeit sollen die Grundlagen der Theorie der lokalkonvexen topologischen Vektorräume erarbeitet und anschließend der Satz von Krein-Milman bewiesen werden. Abschließend können noch Anwendungen des Satzes präsentiert werden.

• Rieszsche Darstellungssätze

In den Elementen der Funktionalanalysis lernt man den Satz von Riesz-Fréchet kennen, der den (Anti-)Dual eines Hilbertraums mit dem Hilbertraum identifiziert. Ähnliche Charakterisierungen existieren für die Dualräume der L^p-Räume (Satz von Riesz) und den Raum der stetigen Funktionen auf einem Kompaktum (der Darstellungssatz von Riesz-Markov). In der Arbeit sollen diese Sätze vorgestellt und bewiesen werden.

• Der Spektralsatz für (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren

In den Elementen der Funktionalanalysis lernt man den Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren kennen. Nach diesem kann ein kompakter selbstadjungierter Operator als Multiplikator bezüglich einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren dargestellt werden. Ist der Operator nicht mehr kompakt, so besitzt dieser nicht mehr notwendigerweise Eigenwerte. Dennoch kann auch für selbstadjungierte, nicht notwendigerweise kompakte Operatoren ein Spektralsatz bewiesen werden. In der Arbeit soll dieser Spektralsatz oder dessen Verallgemeinerung auf unbeschränkte Operatoren vorgestellt werden. Abschließend können einige der zahlreichen Anwendungen des Spektralsatzes, etwa in der Quantenmechanik, vorgestellt werden.

• Funktionen von beschränkter Variation

Funktionen von beschränkter Variation spielen eine wichtige Rolle in der Integrationstheorie. Diese sind genau die richtige Klasse von Funktionen, für die das Stieltjes-Integral für alle stetigen Funktionen erklärt werden kann. In der Arbeit sollen die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen von beschränkter Variation (etwa lässt sich jede Funktion von beschränkter Variation als die Differenz zweier monotoner Funktionen schreiben) erläutert und die Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes Integrals vorgestellt werden.

• Funktionalkalkülmethoden

Funktionalkalküle erlauben es systematisch zu erklären, was das Anwenden einer Funktion auf einen Operator bedeutet. Während sich Polynome von Operatoren direkt definieren lassen, treten bei interessanten größeren Klassen von Funktionen, etwa stetigen oder holomorphen Funktionen, interessante mathematische Fragestellungen auf. In der Arbeit sollen Funktionalkalküle, etwa der holomorphe Funktionalkalkül auf Banachalgebren oder der stetige Funktionalkalkül für normale Operatoren, mit Anwendungen vorgestellt werden.

• Transfinite Induktion & der Eindeutigkeitssatz von Cantor

Cantor konnte 1870 die damals fundamentale Vermutung zeigen, dass bei einer Fourreihe, die Null ergibt, auch bereits alle Koeffizienten in der Entwicklung Null sind. Allgemeiner beschäftigte er sich damit, welche Ausnahmemengen man zulassen konnte, damit dieses Resultat richtig bleibt. Ausgehend von diesen Fragestellungen entwickelte Cantor Ideen, die schließlich zu dem Konzept von transfiniten Ordinalzahlen und der Methode der transfiniten Induktion, eine "Erweiterung der vollständigen Induktion ins Unendliche", führten. In der Arbeit soll diese Entwicklung dargestellt werden und die Methode der transfiniten Induktion zusammen mit dem Eindeutigkeitssatz von Cantor vorgestellt werden.

• Kardinal- & Ordinalzahlen

Kardinalzahlen messen grob gesprochen die Mächtigkeit einer Menge, während Ordinalzahlen zusätzlich die Ordnungsstruktur berücksichtigen. In der Arbeit sollen ausgehend von der historischen Motivation Kardinal- & Ordinalzahlen mathematisch exakt definiert werden (wobei mengentheoretische Probleme auftreten) und deren wichtigste Eigenschaften vorgestellt werden. Die Arbeit kann auf Wunsch durch eine Diskussion der verallgemeinerten Kontinuumshypothese abgerundet werden.

Masterarbeiten Vorschläge:

• Halbgruppen & Geometrie von Banachräumen

Viele Eigenschaften von Halbgruppen auf Banachräumen hängen von der sogenannten Geometrie des Banachraums, etwa der Reflexivität oder der Struktur der abgeschlossenen Unterräume, ab. In dieser Arbeit sollen die wichtigsten und schönsten Ergebnisse in einer Übersicht dargestellt werden.

• Perron-Lösungen

Perron-Lösungen verallgemeinern den klassischen Lösungsbegriff des Dirichletproblems für die Laplace-Gleichung auf einem Gebiet. Perron-Lösungen sind immer harmonisch, konvergieren aber im allgemeinen am Rand nicht gegen die vorgegebene Randfunktion, sondern nur an sogenannten regulären Randpunkten des Gebiets. Es sind einige Charakterisierungen von regulären Punkten bekannt, etwa über Barrieren oder das Wiener-Kriterium. In der Arbeit soll der Begriff der Perron-Lösung erarbeitet und die oben genannten Kriterien mit Beweis vorgestellt werden.

• Aussagen aus der Funktionalanalysis, die unabhängig von ZFC sind

Faszinierenderweise ist man in den letzten Jahrzehnten auf einige Aussagen in der Funktionalanalysis gestoßen, die unabhängig von ZFC (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom) sind, etwa die Vermutung von Kaplansky, die besagt, dass jede Algebranorm auf C(X), den stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum, äquivalent zur Norm der gleichmäßigen Konvergenz auf X ist. In der Arbeit sollen eine oder mehrere dieser Aussagen vorgestellt und (teilweise) bewiesen werden.

Bachelor

• Modellierung von optischen Freiformflächen über Monge-Ampère Gleichungen
• Die Flächenformel
• Vom Perimeter und seinen Minimierern
• Satz von Krein-Milman & verschiedene Anwendungen
• Mosco Convergence and Quadratic Forms
• An uncertainty principle for the short-time Fourier transform
• Untersuchung der Anwendbarkeit von Co-Kriging zur Crashoptimierung von Fahrzeugstrukturen

Master

• Floer Homology and Its Use in Bifurcation Theory
• The porous medium equation: weak and strong solvability, uniqueness and regularity

Topologische und funktionalanalytische Aspekte der schwachen Konvergenz von Maßen und Anwendungen in der Theorie des optimalen Transports  (Bachelorarbeit von Stefan Wagner)

De Giorgi-Nash-Moser estimates for linear parabolic partial differential equations (Masterarbeit von Attila Klimmek)

Sobolev Spaces of Vector-Valued Functions (Masterarbeit von Marcel Kreuter)

• A Population Equation with Logistic Growth (Masterarbeit von Manuel Bernhard)
• Lineare Operatoren in Hilberträumen und Kreinräumen (Zulassungsarbeit von Stefan Hain)
• Lokalkonvexe Räume und der Satz von Krein-Milman (Bachelorarbeit von Patrick Nagel)

• The Invariant Subspace Problem (Bachelorarbeit von Florian Kraus)
• Kernoperatoren (Bachelorarbeit von Sascha Gritzbach)
• The Prime Number Theorem (Bachelorarbeit von Johannes Wiesel)
• Vektorwertige holomorphe Funktionen auf lokalkonvexen Räumen (Bachelorarbeit von Tilmann Giese)
• Spektraltheorie positiver Operatoren und Halbgruppen auf Banachverbänden (Masterarbeit von Jochen Glück)

• Operatorenideale auf Hilberträumen (Bachelorarbeit von Albert Mink)
• Amenabilität und Fourier-Algebra (Bachelorarbeit von Raphael Reinauer)
• Das Inhaltsproblem (Bachelorarbeit von Marcel Kreuter)
• Zum Begriff der Matrixfunktion (Bachelorarbeit von Gianna Tobien)
• Approximative Einheiten und automatische Stetigkeit auf strikt linear geordneten Halbgruppen (Bachelorarbeit von Jochen Glück)
• Der Mittelergodensatz (Bachelorarbeit von Matthias Lenga)

• Der Satz von Hoffmann-Wielandt (Bachelorarbeit von Nicole Unger)
• Über den Abstand der Spektren nichtnormaler Operatoren (Bachelorarbeit von Söhnke Berg)
• Der Sturmsche Trennungssatz und das Bisektionsverfahren (Bachelorarbeit von Anna Hößle)
• Lokalisation von Eigenwerten (Bachelorarbeit von Adrian Spener)
• Nichtnegative Matrizen und der Satz von Perron-Frobenius (Bachelorarbeit von Esra Akbas)
• Über den optimalen linearen Regler (Bachelorarbeit von Christina Sander)
• Gaußsche Prozesse - Ein funktionalanalytischer Zugang (Bachelorarbeit von Clemens Kraus)
• A Functional Calculus for the Wave Equation (Diplomarbeit von Domink Dier)
• Holomorphic Semigroups and the Geometry of Banach Spaces (Diplomarbeit von Stephan Fackler)
• Flow-Invariant Sets (Diplomarbeit von Karl Ulrich)
• Über die Beiträge Cantors zur Analysis (Wissenschaftliche Arbeit von Kerstin Döbel)

• The asymptotic behavior of positive semigroups (Diplomarbeit von Moritz Gerlach)
• Weyl asymptotics for the eigenvalues of Laplace operators on Lipschitz domains (Diplomarbeit von Clemens Kienzler)
• Nonlinear heat equations associated with convex functionals (Diplomarbeit von Daniel Hauer)
• Minimality of the first Eigenvalue of the Laplacian in Dependence of the Domain (Diplomarbeit von Manfred Sauter)
• Continuous attractor networks modeling head direction cells (Diplomarbeit von Julia Kärcher)
• Solutions of non-linear elliptic equations on varying domains (Diplomarbeit von Robin Nittka)
• Das Shannonsche Abtasttheorem (Zulassungsarbeit von Simon Zell)
• Der Laplace-Operator mit dynamischen Randbedingungen (Diplomarbeit von Daniel Reissner)
• Form methods for linear evolution problems on Hilbert spaces (Diplomarbeit von Markus Kunze)
• The Fourier transform, the fast Fourier transform and their application in the signal processing of a high pulse repetition frequency radar (Diplomarbeit von Al Youssof Nergess)
• Jacobian determinants, theory and applications (Diplomarbeit von Jörg Osterrieder)
• Sobolevräume und Halbgruppen (Diplomarbeit von Markus Biegert)
• A characterization of Hilbert spaces by maximal regularity of Cauchy problems (Diplomarbeit von Markus Duelli)
• Variationsmethoden und Positivität (Diplomarbeit von Sonja Thomaschewski)